強(qiáng)非線性振子近似解析方法研究及其在無限維動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，新型材料和結(jié)構(gòu)形式的出現(xiàn)，機(jī)械系統(tǒng)越來越復(fù)雜，精密實(shí)驗(yàn)室的隔振防振要求越來越高，高層建筑、大跨度空間結(jié)構(gòu)和橋梁的防振設(shè)計(jì)以及大型索膜結(jié)構(gòu)的防風(fēng)設(shè)計(jì)越來越復(fù)雜，這些問題都使得強(qiáng)非線性振動(dòng)問題的研究日益突出。近些年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者都在致力于研究強(qiáng)非線性振動(dòng)的新理論和新方法。但是，鑒于非線性微分方程的特性，使得目前沒有一種方法能夠得到所有類型非線性方程的精確解或特解，從而導(dǎo)致了定量分析方法具有多樣性與局限性并存的特性

2、。因此，非線性微分方程求解方法的創(chuàng)新和改進(jìn)，仍然是值得研究的熱門課題。本文針對這一熱門課題進(jìn)行研究，提出了兩種改進(jìn)的方法，一種是平方廣義諧波函數(shù)攝動(dòng)法，另一種則是廣義Padé逼近及其衍生方法。主要工作可總結(jié)為如下五個(gè)方面。
　　第一，對當(dāng)前非線性動(dòng)力系統(tǒng)的分岔研究與定量研究現(xiàn)狀進(jìn)行了概述。
　　第二，對廣義諧波函數(shù)L-P法進(jìn)行了改進(jìn)。通過構(gòu)造新的廣義諧波函數(shù)解，以及對求解過程的合理簡化，提出了一種平方廣義諧波函數(shù)攝動(dòng)法，并利

3、用該方法研究了同時(shí)含有平方和立方非線性項(xiàng)的阻尼 Helmholtz–Duffing振子以及含有有理型勢能函數(shù)的廣義 Duffing-harmonic振子，求得了上述振子的高精度解析極限環(huán)和同異宿軌，較準(zhǔn)確的預(yù)測了其同異宿分岔參數(shù)的臨界值，為一類非線性振子的定量分析提供新的思路和參考方法。
　　第三，在經(jīng)典 Padé逼近方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了相應(yīng)推廣，提出了廣義 Padé逼近方法，并針對強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的同異宿軌和周期軌求解問題，分別利

4、用雙曲函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)造了兩類新的廣義 Padé逼近式，并對Padé逼近的求解過程進(jìn)行了合理的改進(jìn)，求得了勢能函數(shù)為高階多項(xiàng)式、有理函數(shù)和無理函數(shù)振子的高精度解析同異宿解和周期解。突破了現(xiàn)有的Padé和類 Padé逼近方法無法有效求解周期解的限制，為Padé逼近在振動(dòng)領(lǐng)域中的應(yīng)用提供了新的參考和思路。此外，該方法簡單、直接，且所得之解的精度不受非線性項(xiàng)系數(shù)大小和振幅大小的影響。通過理論分析和實(shí)例計(jì)算表明，該方法并不局限于某些特定的系統(tǒng)，

5、而是有著較廣的適用范圍。因此，對廣義Padé逼近方法的研究具有一定的實(shí)際意義和理論價(jià)值。
　　第四，將廣義 Padé逼近方法與經(jīng)典的Lindstedt-Poincaré方法相結(jié)合，提出了一種廣義 Padé-Lindstedt-Poincaré方法。該方法即彌補(bǔ)了廣義 Padé逼近方法無法直接求解自激振動(dòng)的局限，也彌補(bǔ)了橢圓函數(shù)攝動(dòng)法在求解只含平方或立方非線性項(xiàng)以外的系統(tǒng)時(shí)精度不夠的局限。同時(shí)，該方法所得之解為顯式解，彌補(bǔ)了廣義諧波

6、函數(shù)攝動(dòng)法的局限。更重要的是，該方法亦有著較高的求解精度和較簡單直觀的求解過程，便于利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行程序化計(jì)算?；谠摲椒?，研究了幾類勢能函數(shù)為高階多項(xiàng)式函數(shù)和有理函數(shù)的強(qiáng)非線性振子，得到了其高精度的近似解析解，并較準(zhǔn)確的預(yù)測了強(qiáng)非線性下的分岔臨界參數(shù)。因此，該方法亦可視為對現(xiàn)有攝動(dòng)方法的一種有效補(bǔ)充，對該方法的研究具有一定的實(shí)際意義和理論價(jià)值。
　　第五，將上述方法應(yīng)用于兩類無限維動(dòng)力系統(tǒng)的求解。首先，應(yīng)用廣義Padé逼近方法求解

7、了改進(jìn)的Zakharov-Kuznetso方程、廣義 Pochhammer-Chree方程以及廣義 Drinfeld-Sokolov方程，得到了上述方程的高精度近似孤立波解。然后，利用平方廣義諧波函數(shù)攝動(dòng)法研究了一類生物入侵模型，求得了該系統(tǒng)極限環(huán)解的近似表達(dá)式，并得到了極限環(huán)初值與控制參數(shù)之間的關(guān)系。利用此關(guān)系預(yù)測了系統(tǒng)在不同參數(shù)下的極限環(huán)初值，通過將本文所得結(jié)果與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該方法的有效性和可靠性。
　　最后，指出