基于行波變換的無限維動力系統(tǒng)的分岔研究.pdf

1、無限維動力系統(tǒng)的分岔分析與控制是非線性科學的一個重要研究領域。在流體力學、固體力學、斷裂力學、大氣動力學、化學反應以及生物演化系統(tǒng)存在大量的分岔行為，例如，粘彈性均質梁的非線性振動、對流和熱傳導、凝聚態(tài)物理、界面生長演化中的非平衡相變等等，因此，需要進行分岔分析與控制。本文以行波變換為基礎，通過中心流形方法降維，利用攝動方法求分岔方程，研究了幾類經典無限維動力系統(tǒng)的靜態(tài)分岔問題，并對其控制進行了探討。
　　簡單介紹了無限維動力系統(tǒng)

2、分岔研究現(xiàn)狀以及分岔分析與控制方法。基于一種輔助常微分方程方法研究非線性發(fā)展方程的行波解。對輔助方程方法的一般步驟以及現(xiàn)有的幾種常見的輔助方程進行了介紹，并對這些輔助方程的求解步驟進行了分析。通過對一個輔助微分方程的解的討論，并借助擴展雙曲正切函數(shù)法的一些思想，求得了(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程和廣義(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程的一些精確的行波解。該方法可以推廣至其他具

3、有孤子解、三角周期解和橢圓函數(shù)解的非線性偏微分方程的求解，前提是行波變換以后的非線性常微分方程要有精確解，如果不可解，則不能用輔助常微分方程方法求解?；谶@些精確解，可以直接研究非線性偏微分方程的分岔行為。
　　利用行波變換和直接積分方法獲得了Burgers方程和(2+1)維Burgers方程的精確解。并對上述方程的靜態(tài)分岔行為進行了分析，發(fā)現(xiàn)Burgers方程和(2+1)維Burgers方程均具有典型的跨臨界分岔行為。對于由非線

4、性偏微分方程控制的無限維系統(tǒng)，分岔控制的研究成果還很少?？缗R界分岔行為是針對一維系統(tǒng)，可將Burgers方程和(2+1)維Burgers方程直接化成為一維系統(tǒng)，對于高維系統(tǒng)要用中心流形等方法對非線性偏微分方程或行波變換后的非線性常微分方程進行約化。該方法還可以對偏微分方程的其他類型的靜態(tài)分岔，如叉形分岔和鞍結分岔等進行分析。
　　討論了非線性偏微分方程和非線性常微分方程一樣也具有鞍結分岔、叉形分岔和跨臨界分岔行為。將三類非線性偏微

5、分方程通過行波變換，化為一階常微分方程，并對其進行了靜態(tài)分岔分析。其中Burgers方程、(2+1)維Burgers方程和(2+1)維Burgers-KP方程具有跨臨界分岔，(2+1)維修改的Kadomtsev-Pet-viashvili方程具有鞍結分岔。并通過構造一個偏微分方程，分析了該方程的叉形分岔行為。
　　采用精確處理方式，用行波變換將非線性偏微分方程變換為常微分方程，用中心流形方法降維，分析了某些無限維非線性系統(tǒng)的鞍結分

6、岔、跨臨界分岔、叉形分岔行為，在參數(shù)平面了解非線性偏微分方程的解的穩(wěn)定性。用反饋控制方法對無限維非線性系統(tǒng)的三類靜態(tài)分岔進行了控制，分別設計了線性、非線性的反饋控制器，對無限維系統(tǒng)的鞍結分岔、跨臨界分岔、叉形分岔行為進行了有效控制。反饋控制器不會改變原系統(tǒng)的分岔特性，而使非線性系統(tǒng)的分岔點發(fā)生了改變，系統(tǒng)解的穩(wěn)定區(qū)域發(fā)生了改變。
　　研究了帶有激勵項的Burgers-KdV方程的穩(wěn)態(tài)響應有鞍結分岔行為。在該系統(tǒng)的頻率響應中存在跳躍