廣義牛頓型算法求解兩類離散非光滑問題.pdf

1、障礙問題和Hamilton-Jacobi-Bellman方程(簡(jiǎn)稱HJB方程)問題產(chǎn)生于機(jī)械、工程技術(shù)、物理、金融、最優(yōu)控制等領(lǐng)域.它們的數(shù)值解,尤其是大規(guī)模問題數(shù)值解的研究是工程界和計(jì)算數(shù)學(xué)界一個(gè)非常熱門課題.近幾十年來,取得了許多成果.既然障礙問題和HJB方程是兩類典型的非光滑問題,在本文中,我們將研究求解這兩類問題的廣義牛頓型算法.
　　 在第2章,我們提出了廣義牛頓Schwarz迭代法來求解離散的單邊障礙問題.該算法的優(yōu)

2、點(diǎn)如下:(1)算法在每個(gè)牛頓迭代步,只采用有限步加性或乘性Schwarz迭代來求解一個(gè)低維線性方程組的近似解而不需要求解該線性方程組的精確解,從而可以大大減少計(jì)算工作量;(2)算法具有單調(diào)收斂性且在適當(dāng)條件下超線性收斂到問題的解.此外,與其它具有單調(diào)收斂的Schwarz算法相比較,該算法的初始迭代很容易選取.
　　 在第3章,我們提出了求解離散HJB方程的廣義牛頓法并證明了算法的單調(diào)收斂及局部超線性收斂性.該算法的優(yōu)點(diǎn)是每個(gè)牛頓

3、步只求解一個(gè)線性方程組從而便于采用線性方程組的快速求解器進(jìn)行求解.特別地,我們驗(yàn)證了Lions以及Mercier于1980年提出的迭代格式Ⅱ是一類特殊的廣義牛頓法,所以該迭代格式具有局部超線性收斂性.進(jìn)一步,我們研究了求解離散HJB方程的廣義牛頓迭代法.該算法在每個(gè)牛頓步均采用迭代法來求解線性子問題的一個(gè)近似解從而大大地減小了計(jì)算工作量.在適當(dāng)?shù)臈l件下我們證明了算法具有局部超線性收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了算法是非常有效的.
　　 在

4、第4章,我們研究了求解離散的雙邊障礙問題的阻尼廣義牛頓法.與離散的單邊障礙問題的情形相比,離散的雙邊障礙問題的求解難度更大.當(dāng)采用古典的有效集策略或增廣拉格朗日策略進(jìn)行求解,常常得不到算法的單調(diào)收斂性.本章中,通過選取適當(dāng)?shù)某跏嫉约霸诿總€(gè)迭代步選取一個(gè)適當(dāng)?shù)淖枘嵋蜃?我們證明了阻尼廣義牛頓法是單調(diào)收斂的且具有有限步終止性.而且當(dāng)問題退化為單邊障礙問題時(shí),阻尼廣義牛頓法等價(jià)于古典的有效集策略算法(或增廣拉格朗日策略算法).