由Levy過程驅(qū)動的隨機線性二次最優(yōu)控制問題及含Markov鏈的倒向隨機微分方程.pdf

1、在這篇論文中，我們以二次最優(yōu)控制問題和倒向隨機微分方程的理論為基礎(chǔ)，研究由Levy過程驅(qū)動的隨機線性二次最優(yōu)控制問題及含馬爾科夫鏈的倒向隨機微分方程.本文共由四章組成. 在第一章中，我們簡單的回顧了本文所研究問題的歷史文獻(xiàn)，并列出這篇論文所得到的主要結(jié)果. 在第二章和第三章中，我們考慮由Levy過程驅(qū)動的隨機線性二次最優(yōu)控制問題.眾所周知，最優(yōu)控制理論在實際生活中有著重要且廣泛的應(yīng)用.其中，線性二次最優(yōu)控制問題是最優(yōu)控制

2、問題中應(yīng)用最廣泛的問題之一.在其形式首次被Kalman[22]提出之后，關(guān)于該問題的理論得到了很好的發(fā)展.用Brown運動刻畫隨機干擾的隨機二次最優(yōu)控制問題由Wonham([53，54])首次提出，而后得到了各個領(lǐng)域的研究專家深入廣泛的研究，相關(guān)文獻(xiàn)見[13，5，46，59，45]及其參考文獻(xiàn).另外，Levy過程是一類有獨立平穩(wěn)增量及右連左極軌道的過程.因為該過程在金融及其它領(lǐng)域有許多的應(yīng)用，所以受到了眾多的關(guān)注和研究.在第二章中，我們

3、考慮一類有限時間區(qū)間內(nèi)用Levy過程描述隨機干擾的隨機線性二次最優(yōu)控制問題.我們證明了如果一類黎卡提方程有解，則該線性二次最優(yōu)控制問題適定并且可以根據(jù)此黎卡提方程的解構(gòu)造最優(yōu)狀態(tài)反饋控制.另外，我們還給出了這類黎卡提方程可解的一些充分條件. 第三章的內(nèi)容是第二章內(nèi)容的延續(xù).我們知道，無窮時間區(qū)間內(nèi)用Brown運動刻畫隨機干擾的線性二次最優(yōu)控制已經(jīng)得到廣泛且深入的研究，相關(guān)文獻(xiàn)見[59]，[46]，[47]，[55]及其參考文獻(xiàn).

4、在第三章中，我們考慮一類無窮時間區(qū)間內(nèi)用Levy過程描述隨機干擾的隨機線性二次最優(yōu)控制問題.我們給出了這類二次最優(yōu)控制問題的可達(dá)性和一類代數(shù)黎卡提方程的穩(wěn)定解之間的聯(lián)系.另外，我們還利用一類半定規(guī)劃及其對偶問題來研究這類控制問題的最優(yōu)控制. 在本文的最后一章中，我們研究了含馬爾科夫鏈的倒向隨機微分方程和一類偏微分方程的均勻化.對倒向隨機微分方程的研究起源于對隨機控制的研究([6])，Pardoux和Peng[37]首次給出一般形

5、式的倒向隨機微分方程的結(jié)果.此后，由于倒向隨機微分方程與數(shù)學(xué)金融，隨機控制和偏微分方程之間的聯(lián)系，該類方程已經(jīng)得到了廣泛的研究，相關(guān)文獻(xiàn)見[23，14，15]及其參考文獻(xiàn).值得注意的是倒向隨機微分方程為我們研究偏微分方程的均勻化提供了一種概率工具.偏微分方程的均勻化是指這樣一種過程：用新的系數(shù)代替變化較快的的系數(shù)，并且取代后得到的方程的解和原方程的解相近.在第四章中，受到一類含馬爾科夫跳的隨機線性二次最優(yōu)控制問題的啟發(fā)，我們考慮一類系數(shù)

6、受馬爾科夫鏈干擾的倒向隨機微分方程，并且證明該方程存在唯一解.當(dāng)該馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間很大時，為了區(qū)分不同狀態(tài)問快和慢的轉(zhuǎn)移速率，我們知道可以引入一個小參數(shù)(ε>0)，從而認(rèn)為該馬爾科夫鏈為含雙時間尺度的受奇異干擾的馬爾科夫鏈.利用奇異擾動技巧和概率逼近的方法，可以得到當(dāng)ε→0時，受奇異干擾的馬爾科夫鏈的漸近概率分布.更多的細(xì)節(jié)可參照[61].在第四章中，利用這類受奇異干擾的馬爾科夫鏈的漸近概率分布，我們給出了系數(shù)含受奇異干擾的馬爾科夫