多角形區(qū)域上偏微分方程混合非齊次邊值問(wèn)題的譜元方法和區(qū)域分解擬譜方法.pdf

1、近三十年來(lái),譜方法和擬譜方法作為數(shù)值求解微分方程的重要方法得到了蓬勃發(fā)展,它們的主要優(yōu)點(diǎn)是高精度,即真解越光滑,數(shù)值解的誤差就越小.譜方法的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段.第一個(gè)階段研究工作是根據(jù)Fourier正交逼近、Legendre正交逼近和Chebyshev正交逼近的快速收斂性,構(gòu)造相應(yīng)的高精度數(shù)值方法.第二階段研究工作是充分發(fā)揮Jacobi正交逼近、Laguerre正交逼近和Hermite正交逼近的特點(diǎn),構(gòu)造各種計(jì)算退化型微分方程、奇異型微

2、分方程和無(wú)界區(qū)域上的微分方程,以及有關(guān)問(wèn)題的譜與擬譜方法.然而,通常的Jacobi,Laguerre和Hermite譜和擬譜方法僅適用于直角區(qū)域上的內(nèi)部或外部問(wèn)題,這是譜方法的主要弱點(diǎn),因此,近年來(lái)開(kāi)始的第三階段研究工作則著重于試圖克服這個(gè)障礙,從而從本質(zhì)上拓廣譜和擬譜方法的理論及其應(yīng)用.
　　 本文研究凸四邊形區(qū)域上偏微分方程的譜和擬譜方法,以及多角形區(qū)域上的譜元方法和區(qū)域分解擬譜方法.
　　 首先,我們通過(guò)坐標(biāo)變換引

3、入一類(lèi)由Legendre多項(xiàng)式誘導(dǎo)出來(lái)的函數(shù)系,它們構(gòu)成凸四邊形Ω上的一個(gè)完備正交系.然后建立了以它們?yōu)榛瘮?shù)的L2(Ω)-正交逼近和H10(Ω)-正交逼近理論.我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)Poission方程Dirichlet邊值問(wèn)題和一個(gè)拋物型方程初邊值問(wèn)題的譜格式,數(shù)值結(jié)果證實(shí)了這些格式的高效性.
　　 其次,我們引入另一類(lèi)函數(shù)系,建立了以此類(lèi)函數(shù)為基底的不同類(lèi)型的正交投影和擬正交投影理論,由此組合成多角形區(qū)域上的擬正交逼近,它在相鄰子

4、區(qū)域的公共邊界上保持連續(xù)性,并具有整個(gè)多角形區(qū)域上的譜精度.我們構(gòu)造了凸四邊形區(qū)域上橢圓型方程混合非齊次邊值問(wèn)題的Petrov-Galerkin譜方法和多角形區(qū)域上的Petrov—Galerkin譜元方法,并證明了它們?cè)谡麄€(gè)區(qū)域上的高精度.
　　 第三,我們引入另一類(lèi)由Legendre多項(xiàng)式誘導(dǎo)的一個(gè)函數(shù)系,建立了凸四邊形區(qū)域上以它們?yōu)榛瘮?shù)的Legendre-Gauss型插值理論,設(shè)計(jì)了相應(yīng)的數(shù)值積分公式,它對(duì)所采用的基函數(shù)及

5、其導(dǎo)數(shù)都準(zhǔn)確成立.我們建立了兩個(gè)模型問(wèn)題的擬譜格式,證明了它們的高精度.數(shù)值結(jié)果顯示了這些方法的高效性.
　　 最后,我們建立了幾類(lèi)凸四邊形區(qū)域和多角形區(qū)域上的擬正交逼近,及Legendre-Gauss型插值理論,設(shè)計(jì)了相應(yīng)的數(shù)值積分公式,它對(duì)所采用的基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都準(zhǔn)確成立.我們構(gòu)造了多角形區(qū)域上橢圓型微分方程混合非齊次邊值問(wèn)題的區(qū)域分解擬譜方法,并證明它在整個(gè)區(qū)域上的譜精度.
　　 本文的結(jié)果克服了通常譜和擬譜方法的