具有時(shí)滯的非線性動力系統(tǒng)雙Hopf分岔研究.pdf

1、從自然界到人類社會、從自然科學(xué)、工程技術(shù)到社會科學(xué)，時(shí)滯現(xiàn)象無處不在。所謂“時(shí)滯”(“time delay”，“delay”)指系統(tǒng)當(dāng)前的發(fā)展趨勢明顯的依賴于過去的歷史狀況。它廣泛存在于生態(tài)學(xué)、生命科學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、激光、信息技術(shù)、機(jī)械工程、航空航天、保密通訊、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。時(shí)滯對系統(tǒng)動力學(xué)的影響常常是本質(zhì)的，不僅影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且使系統(tǒng)失穩(wěn)，并發(fā)生Hopf分岔、雙Hopf分岔，出現(xiàn)“靜默”運(yùn)動、周期運(yùn)動、概周期運(yùn)動、多穩(wěn)態(tài)運(yùn)

2、動、混沌運(yùn)動等豐富、復(fù)雜的動力學(xué)行為。作為一門新興學(xué)科，時(shí)滯動力學(xué)用于描述、刻畫時(shí)滯對事物演化的影響規(guī)律，近十年來已越來越受到國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的關(guān)注。通過對時(shí)滯系統(tǒng)動力學(xué)的研究，可以得到時(shí)滯對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔的穩(wěn)定性和方向、雙Hopf分岔的分類和開折、混沌等諸多動力學(xué)現(xiàn)象的影響規(guī)律，并對不同背景下若干現(xiàn)實(shí)問題賦予不同的含義和應(yīng)用，以求科學(xué)的解釋有關(guān)現(xiàn)象機(jī)理，如：平衡點(diǎn)穩(wěn)定性條件可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)減振、鎮(zhèn)定、傳染病控制中消除疾病、生

3、物控制中滅害蟲、保持生態(tài)平衡、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)聯(lián)想記憶中提取信息等方面;混沌可應(yīng)用于混沌同步保密通訊、混沌振動篩、大腦的理解、天氣預(yù)報(bào)等方面;周期解則可應(yīng)用于人造衛(wèi)星、航天飛機(jī)等飛行器的飛行控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步化響應(yīng)和腦神經(jīng)周期振蕩等…總之，對時(shí)滯動力系統(tǒng)的研究可以達(dá)到兩個(gè)效果：預(yù)測，根據(jù)得到的結(jié)果，可以預(yù)測到在不同的參數(shù)空間區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)演化的長期性態(tài);控制，根據(jù)上述預(yù)測結(jié)果，通過控制參數(shù)可以把系統(tǒng)調(diào)節(jié)到所希望的狀態(tài)，用于不同的應(yīng)用背

4、景。雙Hopf分岔是時(shí)滯引起的一種重要的動力學(xué)現(xiàn)象。事實(shí)上，在雙Hopf分岔點(diǎn)鄰域內(nèi)具有豐富的動力學(xué)行為，不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動力學(xué)模式就多達(dá)12種。首先，每一種動力學(xué)模式在物理背景下都具有現(xiàn)實(shí)意義；其次，共振雙Hopf分岔分類是一個(gè)極其困難的問題，在理論研究方面，至今尚未完成;最后，兩時(shí)滯和單時(shí)滯導(dǎo)致的雙Hopf分岔在開折參數(shù)的普識性方面是有本質(zhì)區(qū)別的。上述三方面原因構(gòu)成了本論文的研究動機(jī)，因此，有必要進(jìn)一步研究時(shí)滯引起的雙Ho

5、pf分岔問題。在國家自然科學(xué)基金(編號：10472083)的資助下，本論文對以下幾個(gè)方面進(jìn)行了研究，并得到一系列的成果：(1)對1999年以來國際上時(shí)滯動力學(xué)的研究進(jìn)展做了簡要綜述，表明了時(shí)滯動 力學(xué)研究領(lǐng)域已經(jīng)擴(kuò)展到生態(tài)學(xué)、生命科學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、激光、IT技術(shù)、 機(jī)械工程、航空航天、保密通訊、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，總結(jié)了其中的研究方法， 提出了一些亟待解決的問題，并對今后時(shí)滯動力學(xué)的發(fā)展方向提出了建議 和展望。(2)利用

6、中心流形定理將時(shí)滯Stuart-Landau系統(tǒng)約化到四維中心流形上，通 過規(guī)范形方法得到中心流形的規(guī)范形，在對規(guī)范形進(jìn)行分岔分析，得到了 非共振雙Hopf分岔的開折和分類。然后利用四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值 模擬，理論分析的結(jié)果與數(shù)值結(jié)果非常吻合。(3)利用中心流形定理將時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)約化到四維中心流形上，通過規(guī)范 形方法得到中心流形的規(guī)范形，再對規(guī)范形進(jìn)行分岔分析，得到了非共振 雙Hopf分

7、岔的開折和分類。然后利用四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值模擬， 兩種結(jié)果非常吻合。(4)利用中心流形定理、規(guī)范形方法研究了糖尿病治療中的人工胰腺生理模型 非共振雙Hopf分岔的開折和分類。并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，二者完全相符。(5)研究了一類重要的生態(tài)系統(tǒng)-有時(shí)滯營養(yǎng)循環(huán)的半率依賴的捕食-被捕食 系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。由于系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)附近的特征方程在特征根實(shí)部 小于0時(shí)沒有定義，因此作者構(gòu)造了一個(gè)與原系統(tǒng)

8、在正平衡點(diǎn)附近拓?fù)?結(jié)構(gòu)等價(jià)的系統(tǒng)，兩個(gè)系統(tǒng)在相應(yīng)的平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性等價(jià)。對新系統(tǒng)構(gòu) 造Lyapunov泛函，就可以得到其穩(wěn)定性條件，即原捕食-被捕食系統(tǒng)的穩(wěn) 定性條件。并用數(shù)值方法定性的進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明：捕食者尸體分解 越快，時(shí)滯越小，整個(gè)系統(tǒng)就越容易穩(wěn)定。這與生物實(shí)際相符合。本論文有以下三個(gè)方面的創(chuàng)新和特色：(1)針對Stuart-Landau系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、糖尿病治療中的人工胰腺生理模

9、 型存在的雙Hopf分岔現(xiàn)象，本論文對其進(jìn)行了普適性分類，并相應(yīng)解釋了 每一種動力學(xué)行為對應(yīng)的實(shí)際現(xiàn)象，如本論文解釋了復(fù)雜的血糖波動(即 雙穩(wěn)態(tài))產(chǎn)生的原因，所得到的結(jié)果在國內(nèi)外尚未見到類似的報(bào)道。(2)與以往研究多振子同步問題的方法不同，通過求得雙Hopf分岔分類解的解 析表達(dá)式，從理論分析而不是從數(shù)值分析，直接判斷系統(tǒng)是否同步、何種 同步，避免了構(gòu)造復(fù)雜的Lyapunov泛函。(3)建立了有時(shí)