Gorenstein投射模范疇與單態(tài)射范疇.pdf

1、Gorenstein同調(diào)代數(shù)起源于20世紀(jì)60年代，是非常成功的一種相對(duì)同調(diào)代數(shù)理論，在表示論、Tate上同調(diào)、奇點(diǎn)理論等分支中有廣泛應(yīng)用。Gorenstein同調(diào)代數(shù)的基本思想是用Gorenstein投射模、Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模分別代替投射模、內(nèi)射模和平坦模。Artin代數(shù)上的Gorenstein同調(diào)代數(shù)的基礎(chǔ)是Gorenstein投射模（Gorenstein內(nèi)射?？衫肗akayama函子得到)。為

2、更好地理解和發(fā)展Gorenstein同調(diào)代數(shù)，需要更詳細(xì)和更具體地研究非平凡Gorenstein投射模的結(jié)構(gòu)和Gorenstein投射模范疇，在這方面已有李志偉和章璞給出的突破性結(jié)果，有待進(jìn)一步發(fā)展。另一方面，由子模范疇發(fā)展而來(lái)的單態(tài)射范疇與Gorenstein投射模范疇以及奇點(diǎn)范疇等方向有密切聯(lián)系，它能給一大類(lèi)代數(shù)上的Gorenstein投射模提供很好的研究框架。因此，從單態(tài)射范疇出發(fā)研究Gorenstein投射模范疇是一個(gè)可行且重要

3、的方向。
　　本文得到的主要結(jié)果如下：
　　一.三角矩陣Artin代數(shù)的Gorenstein投射模的構(gòu)造。
　　(1)對(duì)很大一類(lèi)三角矩陣代數(shù)，詳細(xì)刻畫(huà)了正則模的左Ext-正交范疇中的模。
　　(2)對(duì)非常大一類(lèi)三角矩陣Gorenstein代數(shù)，刻畫(huà)了Gorenstein投射模的結(jié)構(gòu)。
　　(3)利用三角矩陣擴(kuò)張，歸納構(gòu)造出了一類(lèi)CM-有限 Artin代數(shù)。
　　二.將子模范疇的Auslander-Re

4、iten理論推廣到單態(tài)射范疇，并應(yīng)用到自入射代數(shù)的T-擴(kuò)張的G orenstein投射模范疇上。
　　(1)利用給定代數(shù)的Auslander-Reiten變換給出了單態(tài)射范疇的Auslander-Reiten變換的可計(jì)算性公式。
　　(2)對(duì)于自入射代數(shù)的單態(tài)射范疇，亦即自入射代數(shù)的Tn-擴(kuò)張的Gorenstein投射模范疇，給出了Auslander-Reiten變換在對(duì)象上累次作用的表達(dá)式，并對(duì)Nakayama自入射代數(shù)，

5、給出了Auslander-Reiten變換在對(duì)象上的周期公式。
　　(3)對(duì)自入射代數(shù)的穩(wěn)定單態(tài)射范疇，給出了Serre函子在對(duì)象上累次作用的表達(dá)式，并對(duì)Nakayama自入射代數(shù)，給出了Serre函子在對(duì)象上的周期公式。
　　(4)給出了一些有限表示型的單態(tài)射范疇的Auslander-Reiten箭圖。
　　三.引入Gorenstein穩(wěn)定等價(jià)。
　　(1)證明了Gorenstein穩(wěn)定模范疇是穩(wěn)定模范疇相對(duì)于

6、G orenstein投射模穩(wěn)定范疇的商范疇。
　　(2)對(duì)于有限維代數(shù)，證明了Morita型穩(wěn)定等價(jià)和幾乎v-穩(wěn)定導(dǎo)出等價(jià)均誘導(dǎo)Gorenstein穩(wěn)定等價(jià)。
　　(3)給出一些例子說(shuō)明穩(wěn)定等價(jià)、Gorenstein穩(wěn)定等價(jià)、Gorenstein投射模穩(wěn)定范疇的等價(jià)等各類(lèi)等價(jià)之間的區(qū)別。
　　四.對(duì)于根平方為零的連通左Artin環(huán)，詳細(xì)刻畫(huà)了正則模的左Ext-正交范疇，并給出了其上廣義Nakayama猜想的有效上界。