L-,p--空間中凸體幾何的度量理論研究.pdf

1、本學(xué)位論文致力于研究Lp-空間中凸體幾何的度量不等式和極值問(wèn)題，隸屬于Lp-Brunn-Minkowski理論(又稱(chēng)為Brunn-Minkowski-Firey理論)領(lǐng)域，該領(lǐng)域是近十多年來(lái)在國(guó)際上發(fā)展非常迅速的一個(gè)幾何學(xué)分支.本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理論的基本概念、基本知識(shí)和積分變換方法，研究了Lp-空間中凸體幾何領(lǐng)域諸多幾何體：L2-投影體，Lp-截面體，混合截面體，混合新幾何體г-p，iK以及由我們新引入的

2、Lp-仿射表面積、Lp-混合均質(zhì)積分、Lp-混合仿射表面積所構(gòu)成的度量不等式和極值問(wèn)題. 利用Ⅱ2K是一個(gè)中心在原點(diǎn)的橢球這一特殊性質(zhì)，在第二章給出了投影不等式Petty猜想的Lp-形式(p=1時(shí)即是Petty投影不等式猜想本身)在當(dāng)p=2時(shí)，其逆形式的兩個(gè)結(jié)果，這些結(jié)果是對(duì)投影不等式Petty猜想的完善，同時(shí)建立了L2-投影體Ⅱ2K與標(biāo)準(zhǔn)化下經(jīng)典投影體ⅡK的包含關(guān)系，還解答了一個(gè)約束最小化問(wèn)題. 在第三章中，我們依據(jù)G

3、ardner和Giannopoulos，V.Yaskin和M.Yaskin，C.Haberel和M.Ludwig提出的概念，合理地用不同的符號(hào)重新定義了Lp-截面體IPK.對(duì)這一幾何體，給出了算子Lp的線(xiàn)性等價(jià)性，及其當(dāng)p≤-1時(shí)的單調(diào)性結(jié)果，同時(shí)將Lp-截面體和Lp-對(duì)偶混合均質(zhì)積分W-p，i(K，L)相結(jié)合，在正規(guī)化Lp-徑向加或者Lp-徑向線(xiàn)性組合的條件下，分別建立了關(guān)于Lp-截面體的對(duì)偶均質(zhì)積分形式的Brunn-Minkowsk

4、i不等式及其隔離加強(qiáng)形式. Lutwak推廣了Winterniz單調(diào)性問(wèn)題，即得到：假設(shè)K ∈Fn，且E是一個(gè)橢球，以及K的投影體的體積不超過(guò)E的投影體的體積，那么Ω(K)≤Ω(E)成立.在第四章，利用在Lp-混合體積和Lp-廣義仿射表面積之間所建立的等價(jià)關(guān)系，我們把上述Lutwak的結(jié)果推廣到LP-形式，而且作為這種等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用，建立了Lp-混合均質(zhì)積分形式的Aleksandrov的投影定理和Petty-Schneider定

5、理. 在凸幾何中，凸體的極體是一個(gè)非常重要的研究對(duì)象.在最重要的仿射等周不等式中，Blaschke-Santaló不等式和Petty投影不等式是兩個(gè)與凸體的極體密切相關(guān)的不等式，可是對(duì)于星體而言，其極體卻并不一定存在.在第五章，利用Moszynska 介紹的星對(duì)偶概念，將混合截面體的星對(duì)偶與對(duì)偶均質(zhì)積分結(jié)合起來(lái)，在調(diào)和p-組合或者p-徑向線(xiàn)性組合的條件下，分別建立了關(guān)于混合截面體的星對(duì)偶的對(duì)偶均質(zhì)積分形式的Brunn-Minko

6、wski不等式. 根據(jù)Lutwak，Yang和Zhang提出的新幾何體г-pK，我們?cè)诘诹乱牖旌闲聨缀误wг-p，iK的概念--新幾何體是它的特殊情形.對(duì)混合新幾何體г-p，iK，我們獲得了算子г-p，i的五個(gè)基本性質(zhì)，建立了г-p，iK的體積v(г-p，iK)與凸體K的體積V(K)之間的關(guān)系，以及關(guān)于混合新幾何體г-p，iK的Shephard類(lèi)問(wèn)題. 此外，我們還在第七章研究了Lp-混合仿射表面積和Lp-質(zhì)心體的相互