L-,p-—空間中凸體幾何的極值問題.pdf

1、本文隸屬于Lp-Brunn-Minkowski理論(又稱為Brunn-Minkowski-Firey理論)領(lǐng)域，該領(lǐng)域是近10年來在國際上發(fā)展非常迅速的一個幾何學(xué)分支.本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理論的基本概念、基本知識和積分變換方法，研究Lp-空間中凸體幾何的理論、幾何體的度量不等式和極值問題.一方面，我們對Lp-BrunnMinkowski理論的基礎(chǔ)理論進(jìn)行了研究.另一方面，我們研究了Lp-Brunn-Minko

2、wski理論領(lǐng)域諸多幾何體：Lp-投影體、Lp-質(zhì)心體、新幾何體Г-pK、Lp-John橢球、Lp-曲率映象以及由我們新引入的Lp-混合投影體的體積、均質(zhì)積分、仿射表面積構(gòu)成的度量不等式和極值問題. 在Lp-Brunn-Minkowski理論的基礎(chǔ)理論研究方面，我們首次提出了Lp-混合均質(zhì)積分的對偶概念-Lp-對偶混合均質(zhì)積分，這個概念也將Lp-對偶混合體積和對偶均質(zhì)積分的概念進(jìn)行了推廣.我們不僅研究了它的性質(zhì)，給出了它的積分表

3、達(dá)式和Minkowski不等式，而且利用這個新概念，我們建立了關(guān)于星體Lp-調(diào)和徑向組合對偶均質(zhì)積分的Brunn-Minkowski不等式，使之與關(guān)于凸體FireyLp-組合均質(zhì)積分的Brunn-Minkowski不等式相映成偶.同時，我們還加強(qiáng)了這兩種Brunn-Minkowski不等式，分別給出了它們的隔離形式.著名的Blaschke-Santaló不等式的逆形式探討，一直是經(jīng)典Brunn-Minkowski理論領(lǐng)域的熱點(diǎn)課題，我們

4、通過對新幾何體Г-pK的單調(diào)性研究，意外地獲得了這方面的一個結(jié)論. 在Lp-Brunn-Minkowski理論領(lǐng)域里關(guān)于幾何體的度量不等式和極值問題研究方面，我們投入了更多的精力.關(guān)于Lp-投影體的研究，我們重點(diǎn)探討了投影不等式Petty猜想的Lp-形式(p=1時即是投影不等式Petty猜想本身)，并給出了幾個相關(guān)的結(jié)論，特別是解決了p=2時的投影不等式Petty猜想；與此同時，我們又研究了Lp-Petty投影不等式的逆形式，得

5、到了多種版本的結(jié)果；此外，我們還比較深入地研究了Lp-投影體以及它的極的單調(diào)性不等式，并獲得了較好的效果.在Lp-投影體和混合投影體概念的基礎(chǔ)上，我們引入了一種新幾何體-Lp-混合投影體，研究了它的有關(guān)性質(zhì)，給出了它的Shephard問題，并分別建立了關(guān)于這個新幾何體的體積和均質(zhì)積分的Petty投影不等式，從而把Lp-Petty投影不等式和關(guān)于混合投影體的Petty投影不等式予以了推廣；特別值得一提的是，將Lp-混合投影體的概念與Lp-

6、混合均質(zhì)積分相結(jié)合，可以把關(guān)于Lp-投影體(還有Lp-質(zhì)心體)體積的單調(diào)性不等式推廣到均質(zhì)積分形式，我們?yōu)榇艘沧隽艘恍┕ぷ?對Lp-質(zhì)心體，我們建立了關(guān)于Lp-質(zhì)心體和它的極的體積單調(diào)性不等式，并利用Lp-混合投影體的概念將其推廣到均質(zhì)積分形式；同時，還探討了Lp-Busemann-Petty質(zhì)心不等式和Lp-質(zhì)心仿射不等式的逆形式，作為前者的應(yīng)用，得到了中心凸體迷向常數(shù)的一個上界，對后者，給出了幾種形式的結(jié)果；另外，結(jié)合對新幾何體Г-

7、pK的研究，我們又意外獲得了Lp-Busemann-Petty質(zhì)心不等式的一個隔離形式.在新幾何體Г-pK的研究上，我們不僅給出了它的Shephard問題，而且側(cè)重研究了它與Lp-質(zhì)心體之間的不等式，當(dāng)然還有前面的兩個意外收獲.就Lp-John橢球這個新概念而言，我們僅給出了關(guān)于它體積的一個已知不等式的加強(qiáng)形式和逆形式.關(guān)于Lp-曲率映象，自Lutwak于1996年引入以來少有人問津，為此我們做了比較系統(tǒng)的研究，包括它的基本性質(zhì)，與其有

8、關(guān)的仿射等周不等式，以及它與Lp-投影體和Lp-質(zhì)心體之間的一個有趣等式.對于Lp-仿射表面積，我們主要是把Petty,Lutwak，冷崗松教授在經(jīng)典仿射表面積的部分結(jié)果進(jìn)行了推廣，得到了Lp-Petty仿射投影不等式和其它幾個與Lp-投影體，Lp-質(zhì)心體相關(guān)的仿射等周不等式.同時，在混合仿射表面積和Lp-仿射表面積概念的基礎(chǔ)上，我們通過引入i次Lp-混合仿射表面積的概念，推廣了Lutwak關(guān)于混合仿射表面積的一系列結(jié)果，特別是利用這個