凸區(qū)域上一類非線性橢圓算子的幾何與分析.pdf

1、本文利用常秩定理對一類Hessian方程給出幾個(gè)凸性的結(jié)果。同時(shí)，運(yùn)用[21]中的思想還能得到相應(yīng)Hesaian算子的第一特征值的關(guān)于區(qū)域的Brunn-Minkowski不等式，關(guān)鍵是利用了“嚴(yán)格”的凸性結(jié)果。主要結(jié)果為： 定理0.1.設(shè)Ω為R3中光滑有界嚴(yán)格凸區(qū)域，若u∈C∞(Ω)為{S2(D2u)=1inΩ,u=0on()Ω的允許解，則-(-u)1/2嚴(yán)格凸，且凸性指標(biāo)1/2最佳。 定理0.2.設(shè)Ω為R3中光滑有界嚴(yán)

2、格凸區(qū)域，若u∈C∞(Ω)∩C1,1(-Ω)為{S2(D2u)=λ(-u)2inΩ,u=0on()Ω的允許解，則-log(-u)嚴(yán)格凸。 在解具有上述正則性的情況下，進(jìn)一步得到S2第一特征值λ的Brunn-Minkowski不等式，即λ-1/4為區(qū)域的凹函數(shù)，描述如下： 定理0.3.對任意兩個(gè)3維凸體K0，K1和t∈[0，1]，λ滿足不等式λ((1-t)K0+tK1)-1/4≥(1-t)λ(K0)-1/4+tλ(K1)-