關(guān)于帶遞歸效用的平均場(chǎng)最優(yōu)控制問題的隨機(jī)最大值原理.pdf

1、Peng[1]在1998年提出一個(gè)重要的公開問題:“除了一些特殊情形，當(dāng)f非線性依賴于z時(shí)相應(yīng)的全局最大值原理是一個(gè)公開問題”。[2]和[3]研究了這個(gè)公開問題，但是他們所得到的最大值原理仍包含未知參數(shù)。公開問題的主要難點(diǎn)在于倒向隨機(jī)微分方程（簡(jiǎn)記為BSDE）的生成元f（x，y，z，u）是非線性依賴于z的，這是無論在理論還是實(shí)際生活中都存在的一種典型狀態(tài)。2015年Hu[4]最終解決了這個(gè)歷時(shí)已久的公開問題。在Hu[4]的基礎(chǔ)上，本文將

2、結(jié)論推廣至平均場(chǎng)情形，并考慮了完全耦合的部分可觀測(cè)的平均場(chǎng)隨機(jī)最優(yōu)控制問題。本文主要分為兩部分。
　　第一部分，我們研究帶遞歸效用函數(shù)的平均場(chǎng)最優(yōu)控制問題的隨機(jī)最大值原理。我們得到了帶遞歸效用函數(shù)的平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為MFBSDE)的變分方程，且得到了新的最大值原理。控制域不必為凸且MFBSDE的生成元可包含z。我們考慮如下狀態(tài)方程:{dx(t)=b(t，x(t)，Ex(t)]，u(t))dt+σ(t，x(t)，E[x(

3、t)]，u(t))dW(t)，(1)x(0)=x0.
　　我們定義代價(jià)泛函:J(u(·))=y(0)，(2)
　　其中y(·)為以下MFBSDE的解:dy(t)=-f(t，x(t)，E[x(t)]，y(t)，E[y(t)]，z(t)，E[z(t)]，u(t))dt+z(t)dW(t)，(3)y（T）=φ（x（T），E[x（T）]）.
　　帶遞歸效用的平均場(chǎng)隨機(jī)最優(yōu)控制問題為在可容許控制集u[0,T]上最小化(2)式中的

4、代價(jià)泛函J(u(·))，即找到最優(yōu)控制ū，使得J(ū(·))=u(·)inf∈u[0,T]，J(u(·)).
　　我們的目的是得到最小化代價(jià)泛函時(shí)，最優(yōu)控制ū(·)所能滿足的條件。我們的主要思想是利用Ekeland變分原理以及相應(yīng)的伴隨方程得到最優(yōu)控制的必要條件。本部分的主要難點(diǎn)在于:(1)如何得到MFBSDE的二階變分方程的具體形式（與[15]不同）。(2)關(guān)于z的變分方程的二次形式導(dǎo)致二階伴隨方程十分復(fù)雜。
　　第二部分

5、我們考慮了一種完全耦合的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的部分可觀測(cè)的平均場(chǎng)隨機(jī)最優(yōu)控制問題。在正向擴(kuò)散系數(shù)不包含控制變量且控制域不必為凸的假設(shè)下，由Ekeland變分原理并利用針狀變分法，我們得到龐特里亞金型的最大值原理，并且相關(guān)的伴隨過程為平均場(chǎng)情形下的正倒向隨機(jī)微分方程（簡(jiǎn)記為FBSDE）的解。而完全耦合的正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制問題的一般最大值原理仍是一個(gè)公開問題。
　　我們定義如下代價(jià)泛函:J(u(·))=Eu[∫T0 l(t，xu(t)，E[

6、xu(t)]，yu(t)，E[yu(t)]，zu(t)，E[zu(t)]，u(t))dt(4)+φ(xu(T)，E[xu(T)])+γ(yu(0))]，約束于受控的完全耦合的平均場(chǎng)FBSDE:dxu(t)=b(t，θu(t)，u(t))dt+σ(t)，θu(t))dW(t)，dyu(t)=-f(t，θu(t)，u(t))dt+zu(t)dW(t)，(5)xu(0)=x0，yu（T）=g(xu(T)，E[xu（T）]），t∈[0，T].其

7、中θu(t)=(xu(t)，E[xu(t)]，yu(t)，E[yu(t)]，zu(t)，E[zu(t)])，以及部分觀測(cè)dY(t)=h(t，xu(t)，E[xu(t)]，yu(T0，E[yu(t)],u(t))出+d(W)(t)，Y(0)=0.(6)當(dāng)系數(shù)滿足Lipschitz條件、可積性條件和G-單調(diào)性條件時(shí)，方程(5)存在唯一解，其中正向擴(kuò)散系數(shù)不包含控制。我們應(yīng)用Ekeland變分原理及相應(yīng)的伴隨方程得到完全耦合情形下的部分可觀測(cè)