一類非線性方程組唯一性定理及其應(yīng)用.pdf

1、本文主要給出一類非線性方程組的唯一性定理及其在三個(gè)方面的應(yīng)用，分四部分.
　　 第一部分，一類非線性方程組的唯一性定理.
　　 定理1設(shè)函數(shù)列Fk(x1，x2,…，xn)，k=1，2,…，n及其偏導(dǎo)數(shù)(δ)Fk(x1，x2,…，xn)\(δ)xj，k，j=1，2，…，n在連通區(qū)間D內(nèi)連續(xù).若對(duì)于每一個(gè)m，1≤m≤n及任意給定的n-m個(gè)值{ym+1，…，yn}，存在一組值[εm,1，…，εm，n}，|εm，k|=1，k=1

2、，2，…，m，使得含m個(gè)未知數(shù)x1，x2，…，xm的方程組Fk(x1，…，xm，ym+1，…，yn)=0，k=1，…，m(1)總有解xk=zk，k=1,…，m，且解滿足(公式略)和(公式略)則對(duì)于每一個(gè)m，1≤m≤n和任意給定的一組值{ym+1,…，yn}，方程組(1)有唯一解.
　　 特別地，當(dāng)m=n時(shí)，方程組(1)有唯一解.
　　 第二部分，唯一性定理在冪正交多項(xiàng)式方面的應(yīng)用.
　　 定理2設(shè)dμ為(a,b)

3、上的測度，且μ∈C(a，b).又設(shè)min1≤k≤n mk=1時(shí)，μ∈C1(a，b)且μ'(x)＞0，x∈(a，b).則存在唯一的向量x∈X滿足φn(x)=infy∈(-x)φn(y).
　　 應(yīng)用唯一性定理1，給出此定理另一個(gè)簡單的證明.
　　 第三部分，唯一性定理應(yīng)用于廣義Chebyshev系上Gauss型求積公式.此部分與第四部分考察的結(jié)點(diǎn)向量為：(公式略)我們記Ak,j(x)∈PN為插值基本多項(xiàng)式，其中(公式略)還

4、記(公式略)以及(公式略)
　　 定理3設(shè)U是[a，b]上N+1維ET空間.又設(shè)μ∈C[a，b]，dμ是[a，b]上測度.當(dāng)min1≤k≤n mk=1時(shí)，進(jìn)一步假定μ∈C1(a, b)和μ'(x)＞0，x∈(a，b).則對(duì)于任意給定的一個(gè)向量x2∈X2，存在唯一的向量x1∈X1，使得對(duì)于每一個(gè)函數(shù)u∈U，向量x=(x1，x2)都滿足Gauss型求積公式(公式略)及性質(zhì)Ck,mk-1(x)=0, k=1,…,m.
　　 利

5、用唯一性定理1，本文給出了此定理另一個(gè)簡潔的證明.
　　 第四部分，Gauss Birkhoff求積公式.
　　 在前人基礎(chǔ)上，首先得到兩個(gè)重要引理，在這兩引理成立的條件下，我們便于得到后面的結(jié)果，同時(shí)兩引理本身也是有意義的結(jié)論.
　　 引理1設(shè)E是插值矩陣.對(duì)于確定的指數(shù)k，j，r，ek,j=1，1≤r≤n，則有(公式略)
　　 引理2設(shè)Dμ為[a，b]上測度，μ∈C[a，b]，且n×(N+1)階矩陣E

6、不包含奇的非Hermite序列.又設(shè)E中1≤k≤m行為Hermite行，再進(jìn)一步設(shè)定1≤k，r≤m.如果r=k時(shí)有mk≥2，則(公式略)同時(shí)(公式略)
　　 此外，如果給定一向量x2∈X2，向量x1∈X1是規(guī)范方程組GK(x)=0，k=1，2,…，m(4)的解，則向量x=(x1，x2)，1≤k，r≤m滿足關(guān)系式(公式略)這里Gk(x)=∫ba Ak,mk-1(x,x)S(x,x)dμ(x), k=1,…,m.
　　 而后

7、我們得到了本論文的兩個(gè)主要結(jié)果.
　　 定理4設(shè)dμ是[a，b]上測度，μ∈C[a，b].又設(shè)n×(N+1)階Pólya矩陣E不包含奇的非Hermite序列.則對(duì)于任意給定的一個(gè)向量x2∈X2，存在向量x1∈X1，使得向量x=(x1，x2)滿足GGBQF(公式略)及性質(zhì)(3).進(jìn)一步，對(duì)于向量x∈X，以下敘述等價(jià)：(a)向量x滿足GGBQF(5)及性質(zhì)(3)；(b)向量x滿足規(guī)范方程組(4)；(c)向量x滿足正交關(guān)系式(公式略)

8、這里V(x)=[P∈PN∶P(j)(xk)=0， e*k,j=1，e*k,j∈ E*}，x∈(-X)，E*為將插值矩陣E中每行(k，mk-1)，1≤k≤m位置的1去掉所得到的矩陣，S(x；x)如(2)所示.
　　 定理5設(shè)定理1的假設(shè)成立，又設(shè)min1≤k≤n mk=1時(shí)，μ嚴(yán)格單調(diào)遞增.如果E中滿足條件1≤k≤m的每一行皆為Hermite行，則對(duì)于任意給定的一個(gè)向量x2∈X2，存在唯一的向量x1∈X1使得向量x=(x1，x2)