物理非線性粘彈性桿動(dòng)力分析研究及混沌動(dòng)力系統(tǒng)仿真軟件的開發(fā).pdf

1、非線性科學(xué)已成為各門學(xué)科的研究前沿，固體力學(xué)將呈現(xiàn)出以非線性力學(xué)為核心的發(fā)展趨勢(shì)，其所代表的無窮維動(dòng)力系統(tǒng)的研究也已經(jīng)獲得了很大的進(jìn)展。目前，混沌科學(xué)雖然在基礎(chǔ)理論方面取得了很大的進(jìn)展，但還沒有取得根本性的突破，還有許多問題沒有解決，數(shù)值計(jì)算仍然是研究混沌現(xiàn)象的一項(xiàng)基本手段。鑒于上述情況，本文主要作了以下幾方面的研究工作： 1.對(duì)固體力學(xué)領(lǐng)域中混沌運(yùn)動(dòng)的研究現(xiàn)狀和方法作了整體上的概述，并針對(duì)基本結(jié)構(gòu)元件非線性直桿的動(dòng)力學(xué)相關(guān)研究

2、作了簡(jiǎn)要的回顧，指出了其中一些值得注意的問題。 2.針對(duì)數(shù)值計(jì)算在非線性動(dòng)力學(xué)研究中的重要性，利用VisualC++6.0面向?qū)ο缶幊陶Z言，開發(fā)了微分動(dòng)力系統(tǒng)的仿真分析軟件，集成了對(duì)已知微分動(dòng)力系統(tǒng)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的各種混沌表征分析功能，其中主要包括時(shí)程曲線，相平面軌跡(或重構(gòu))，功率譜分析，Poincaré映射以及混沌的定量特征參數(shù)李雅譜諾夫指數(shù)的計(jì)算等。實(shí)現(xiàn)了人機(jī)交互操作和動(dòng)態(tài)直觀顯示，可望為動(dòng)力系統(tǒng)的研究提供一個(gè)極為便利的分析工

3、具。軟件主要特點(diǎn)有：(1)軟件內(nèi)植入了求解微分方程初值問題的自適應(yīng)偽弧長算法，有利于對(duì)剛性和奇異性方程的求解；(2)獨(dú)特的符號(hào)解析功能實(shí)現(xiàn)了微分動(dòng)力系統(tǒng)輸入的任意性，使其不再是一個(gè)局限于內(nèi)嵌固定方程的演示軟件而成為一種工具，從而極大地拓寬了軟件的應(yīng)用范圍；(3)軟件部分模塊(Lyapunov指數(shù)譜)的計(jì)算中，利用Matlab軟件提供的接口協(xié)議調(diào)用了Matlab符號(hào)Jacobi矩陣運(yùn)算功能，實(shí)現(xiàn)了軟件與Matlab的后臺(tái)通信。另外通過一些

4、算例的比較，驗(yàn)證了軟件計(jì)算的正確性和準(zhǔn)確性。 3.桿件作為力學(xué)與工程應(yīng)用中最常用的基本構(gòu)件，在一般的靜動(dòng)力分析中成為首當(dāng)其沖的研究對(duì)象。由于在工程上應(yīng)用的廣泛性，所以分析其強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性都是十分重要的，本文首先基于虛功原理導(dǎo)出了三次物理非線性Keilven-Voigt粘彈性桿在考慮橫向慣性效應(yīng)下的縱向波動(dòng)方程。并應(yīng)用多尺度法得到了桿應(yīng)變相對(duì)于慢尺度時(shí)間變量的MKdV-Burgers方程，然后根據(jù)非線性演化方程孤波解、沖擊波解

5、與動(dòng)力系統(tǒng)同、異宿軌道相對(duì)應(yīng)的思想，得到了三次物理非線性桿MKdV方程在硬非線性材料下的孤波解和軟非線性材料下的沖擊波解以及兩種情況下的橢圓行波解。分析了非線性系數(shù)，色散系數(shù)對(duì)上述非線性波的存在，以及對(duì)孤波傳播速度、波幅、波寬等性質(zhì)的影響，并進(jìn)一步利用雙曲正切函數(shù)法得到了非線性Keilven-Voigt粘彈性桿MKdV-Burgers方程的精確解，闡明了結(jié)果的物理意義。由于孤波和沖擊波的形成伴隨有能量的積聚，其穩(wěn)定的長距離傳播可能會(huì)導(dǎo)致

6、結(jié)構(gòu)缺陷處的損壞，上述結(jié)果的得出可為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和動(dòng)態(tài)破壞分析提供一定的借鑒。 4.研究了一端固定一端受簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)的二次及三次非線性Keilven-Voigt粘彈性直桿在考慮橫向慣性效應(yīng)下的混沌響應(yīng)，應(yīng)用Galerkin方法將該無限維動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)單模態(tài)的動(dòng)力方程，并應(yīng)用Melnikov函數(shù)法給出了混沌產(chǎn)生的臨界條件；通過計(jì)算次諧軌道的Melnikov函數(shù)，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在參數(shù)激勵(lì)與強(qiáng)迫激勵(lì)聯(lián)合作用下，只須經(jīng)過有限次分叉即

7、可進(jìn)入混沌。通過仿真計(jì)算，分別在激勵(lì)幅值和阻尼系數(shù)參數(shù)空間上給出了該系統(tǒng)由倍周期分叉通向混沌的各級(jí)分叉參數(shù)值和進(jìn)入混沌的閥值。相應(yīng)給出的Lyapunov指數(shù)譜隨參數(shù)的變化曲線也呈現(xiàn)了與分叉曲線完全一致的特征，從定量上驗(yàn)證了該系統(tǒng)分叉和混沌的存在。Poincaré映射給出了清晰的混沌吸引子圖像，并且得到了該吸引子的Lyapunov指數(shù)譜和分形維數(shù)。 5.雖然Galerkin法已廣泛應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析，但其截?cái)嗟暮侠硇陨袩o直

8、接的證明或根據(jù)，本文對(duì)上述非線性Keilven-Voigt粘彈性桿的控制方程分別采取了1到3階的截?cái)?，并分別對(duì)之進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，分析了截?cái)嚯A數(shù)對(duì)分叉和混沌計(jì)算的影響，結(jié)論認(rèn)為特別是在包含二次非線性的情形下，其二次非線性項(xiàng)僅在一階截?cái)喾匠痰南禂?shù)中有所體現(xiàn)，而且計(jì)算結(jié)果表明一階截?cái)嗟氖状畏植嬷嫡`差較大，采取二階以上截?cái)嗖拍芙o出工程意義上較為安全的結(jié)果。 6.對(duì)物理非線性直桿雙模態(tài)自由振動(dòng)所得的兩自由度Hamilton系統(tǒng)進(jìn)行了分析，

9、利用近可積保守Hamilton系統(tǒng)的Melnikov方法給出了其發(fā)生混沌的臨界條件，數(shù)值仿真驗(yàn)證了該系統(tǒng)當(dāng)能量由低到高逐漸變化時(shí)，KAM環(huán)面逐漸破裂，系統(tǒng)由周期或擬周期運(yùn)動(dòng)向混沌演化的過程。說明了物理非線性桿無強(qiáng)迫自由振動(dòng)也存在著隨機(jī)性，并且仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn)Hamilton系統(tǒng)在向混沌演化的過程中，一些KAM環(huán)面“縊斷”而分裂為多個(gè)小環(huán)面，并且這些小環(huán)面是互相連通的，這是一個(gè)新現(xiàn)象，這種現(xiàn)象的普適性尚待進(jìn)一步的理論研究。 7.Gal

10、erkin法在多階截?cái)嘞滤玫目刂品匠虝?huì)由于方程所含項(xiàng)數(shù)呈幾何級(jí)數(shù)增長而變得異常龐大，為此本文利用有限元方法對(duì)非線性粘彈性桿進(jìn)行空間離散，并應(yīng)用虛功原理得到了一組耦合非線性常微分方程所代表的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)其在周期外力激勵(lì)下的分叉和混沌響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，得到了不同參數(shù)下的時(shí)程曲線，相平面軌線，功率譜和混沌吸引子，并比較了不同離散單元數(shù)以及時(shí)間步長對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，結(jié)果表明，有限元法雖然計(jì)算工作量較大，但對(duì)于結(jié)構(gòu)分叉和混沌的計(jì)算是可行

11、的，尤其與Galerkin方法的多階截?cái)嘞啾?，將更具?yōu)勢(shì)。 8.Melnikov方法現(xiàn)已被廣泛地用來作為微擾哈密頓系統(tǒng)是否發(fā)生次諧或超次諧分叉乃至混沌的判據(jù)。本文通過對(duì)一類非自治微分動(dòng)力系統(tǒng)的研究，證明了在這樣一類系統(tǒng)中如果存在周期解則只可能是次諧周期解，超次諧周期解不可能存在，并進(jìn)一步證明了在一類平面問題中所定義的旋轉(zhuǎn)(R)型超次諧周期解同樣不可能存在。作為該結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用，文中考察了幾個(gè)典型的算例，結(jié)果表明現(xiàn)有的二階Meln