物理非線性粘彈性桿動力分析研究及混沌動力系統(tǒng)仿真軟件的開發(fā).pdf

1、非線性科學已成為各門學科的研究前沿，固體力學將呈現(xiàn)出以非線性力學為核心的發(fā)展趨勢，其所代表的無窮維動力系統(tǒng)的研究也已經獲得了很大的進展。目前，混沌科學雖然在基礎理論方面取得了很大的進展，但還沒有取得根本性的突破，還有許多問題沒有解決，數(shù)值計算仍然是研究混沌現(xiàn)象的一項基本手段。鑒于上述情況，本文主要作了以下幾方面的研究工作： 1.對固體力學領域中混沌運動的研究現(xiàn)狀和方法作了整體上的概述，并針對基本結構元件非線性直桿的動力學相關研究

2、作了簡要的回顧，指出了其中一些值得注意的問題。 2.針對數(shù)值計算在非線性動力學研究中的重要性，利用VisualC++6.0面向對象編程語言，開發(fā)了微分動力系統(tǒng)的仿真分析軟件，集成了對已知微分動力系統(tǒng)和實驗數(shù)據(jù)的各種混沌表征分析功能，其中主要包括時程曲線，相平面軌跡(或重構)，功率譜分析，Poincaré映射以及混沌的定量特征參數(shù)李雅譜諾夫指數(shù)的計算等。實現(xiàn)了人機交互操作和動態(tài)直觀顯示，可望為動力系統(tǒng)的研究提供一個極為便利的分析工

3、具。軟件主要特點有：(1)軟件內植入了求解微分方程初值問題的自適應偽弧長算法，有利于對剛性和奇異性方程的求解；(2)獨特的符號解析功能實現(xiàn)了微分動力系統(tǒng)輸入的任意性，使其不再是一個局限于內嵌固定方程的演示軟件而成為一種工具，從而極大地拓寬了軟件的應用范圍；(3)軟件部分模塊(Lyapunov指數(shù)譜)的計算中，利用Matlab軟件提供的接口協(xié)議調用了Matlab符號Jacobi矩陣運算功能，實現(xiàn)了軟件與Matlab的后臺通信。另外通過一些

4、算例的比較，驗證了軟件計算的正確性和準確性。 3.桿件作為力學與工程應用中最常用的基本構件，在一般的靜動力分析中成為首當其沖的研究對象。由于在工程上應用的廣泛性，所以分析其強度、剛度和穩(wěn)定性都是十分重要的，本文首先基于虛功原理導出了三次物理非線性Keilven-Voigt粘彈性桿在考慮橫向慣性效應下的縱向波動方程。并應用多尺度法得到了桿應變相對于慢尺度時間變量的MKdV-Burgers方程，然后根據(jù)非線性演化方程孤波解、沖擊波解

5、與動力系統(tǒng)同、異宿軌道相對應的思想，得到了三次物理非線性桿MKdV方程在硬非線性材料下的孤波解和軟非線性材料下的沖擊波解以及兩種情況下的橢圓行波解。分析了非線性系數(shù)，色散系數(shù)對上述非線性波的存在，以及對孤波傳播速度、波幅、波寬等性質的影響，并進一步利用雙曲正切函數(shù)法得到了非線性Keilven-Voigt粘彈性桿MKdV-Burgers方程的精確解，闡明了結果的物理意義。由于孤波和沖擊波的形成伴隨有能量的積聚，其穩(wěn)定的長距離傳播可能會導致

6、結構缺陷處的損壞，上述結果的得出可為結構的動力學設計和動態(tài)破壞分析提供一定的借鑒。 4.研究了一端固定一端受簡諧周期激勵的二次及三次非線性Keilven-Voigt粘彈性直桿在考慮橫向慣性效應下的混沌響應，應用Galerkin方法將該無限維動力系統(tǒng)轉化為一個單模態(tài)的動力方程，并應用Melnikov函數(shù)法給出了混沌產生的臨界條件；通過計算次諧軌道的Melnikov函數(shù)，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在參數(shù)激勵與強迫激勵聯(lián)合作用下，只須經過有限次分叉即

7、可進入混沌。通過仿真計算，分別在激勵幅值和阻尼系數(shù)參數(shù)空間上給出了該系統(tǒng)由倍周期分叉通向混沌的各級分叉參數(shù)值和進入混沌的閥值。相應給出的Lyapunov指數(shù)譜隨參數(shù)的變化曲線也呈現(xiàn)了與分叉曲線完全一致的特征，從定量上驗證了該系統(tǒng)分叉和混沌的存在。Poincaré映射給出了清晰的混沌吸引子圖像，并且得到了該吸引子的Lyapunov指數(shù)譜和分形維數(shù)。 5.雖然Galerkin法已廣泛應用于連續(xù)系統(tǒng)的動力學分析，但其截斷的合理性尚無直

8、接的證明或根據(jù)，本文對上述非線性Keilven-Voigt粘彈性桿的控制方程分別采取了1到3階的截斷，并分別對之進行了數(shù)值計算，分析了截斷階數(shù)對分叉和混沌計算的影響，結論認為特別是在包含二次非線性的情形下，其二次非線性項僅在一階截斷方程的系數(shù)中有所體現(xiàn)，而且計算結果表明一階截斷的首次分叉值誤差較大，采取二階以上截斷才能給出工程意義上較為安全的結果。 6.對物理非線性直桿雙模態(tài)自由振動所得的兩自由度Hamilton系統(tǒng)進行了分析，

9、利用近可積保守Hamilton系統(tǒng)的Melnikov方法給出了其發(fā)生混沌的臨界條件，數(shù)值仿真驗證了該系統(tǒng)當能量由低到高逐漸變化時，KAM環(huán)面逐漸破裂，系統(tǒng)由周期或擬周期運動向混沌演化的過程。說明了物理非線性桿無強迫自由振動也存在著隨機性，并且仿真計算發(fā)現(xiàn)Hamilton系統(tǒng)在向混沌演化的過程中，一些KAM環(huán)面“縊斷”而分裂為多個小環(huán)面，并且這些小環(huán)面是互相連通的，這是一個新現(xiàn)象，這種現(xiàn)象的普適性尚待進一步的理論研究。 7.Gal

10、erkin法在多階截斷下所得的控制方程會由于方程所含項數(shù)呈幾何級數(shù)增長而變得異常龐大，為此本文利用有限元方法對非線性粘彈性桿進行空間離散，并應用虛功原理得到了一組耦合非線性常微分方程所代表的非線性動力系統(tǒng)，對其在周期外力激勵下的分叉和混沌響應進行了數(shù)值計算，得到了不同參數(shù)下的時程曲線，相平面軌線，功率譜和混沌吸引子，并比較了不同離散單元數(shù)以及時間步長對計算結果的影響，結果表明，有限元法雖然計算工作量較大，但對于結構分叉和混沌的計算是可行

11、的，尤其與Galerkin方法的多階截斷相比，將更具優(yōu)勢。 8.Melnikov方法現(xiàn)已被廣泛地用來作為微擾哈密頓系統(tǒng)是否發(fā)生次諧或超次諧分叉乃至混沌的判據(jù)。本文通過對一類非自治微分動力系統(tǒng)的研究，證明了在這樣一類系統(tǒng)中如果存在周期解則只可能是次諧周期解，超次諧周期解不可能存在，并進一步證明了在一類平面問題中所定義的旋轉(R)型超次諧周期解同樣不可能存在。作為該結論的一個應用，文中考察了幾個典型的算例，結果表明現(xiàn)有的二階Meln