1、連續(xù)自映射的廣義周期點(diǎn)(即周期點(diǎn)、非游蕩點(diǎn)、回歸點(diǎn),鏈回歸點(diǎn)、ω-極限點(diǎn)等)是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容之一。在現(xiàn)實(shí)世界中,具有周期狀態(tài)的系統(tǒng)大量存在。而迭代過程中的周期軌是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型之一,并且它是迭代系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單的不變子集。更一般的還有非游蕩點(diǎn)集、回歸點(diǎn)集,鏈回歸點(diǎn)集、ω-極限點(diǎn)等,這些廣義周期點(diǎn)各自的特性以及它們之間的關(guān)系都在一定程度上反映動(dòng)力系統(tǒng)的本質(zhì)特征。本文在闡述動(dòng)力系統(tǒng)的研究背景、指出它在混沌理論研究中的重要
2、作用并且介紹廣義周期點(diǎn)的研究進(jìn)展的基礎(chǔ)上,首先將一維動(dòng)力系統(tǒng)中的周期點(diǎn)、不穩(wěn)定流形、非游蕩點(diǎn)等重要概念進(jìn)行拓?fù)渫茝V。然后,類比實(shí)直線上廣義周期點(diǎn)的性質(zhì)并且利用拓?fù)鋵W(xué)的基本方法與技巧,在線性序拓?fù)淇臻g上得到如下一系列結(jié)果:
⑴關(guān)于周期點(diǎn),得到了關(guān)于3-周期點(diǎn)的一個(gè)充要條件和周期點(diǎn)集有限的周期結(jié)構(gòu),并將實(shí)直線上Sharkovskii定理推廣到完備稠序線性序拓?fù)淇臻g(簡(jiǎn)記為CDLOTS)上。
⑵關(guān)于不穩(wěn)定流形,在C
3、DLOTS上得到了許多與實(shí)直線一致的結(jié)論,比如:連續(xù)自映射不動(dòng)點(diǎn)處的不穩(wěn)定流形是連通的、連續(xù)自映射的周期點(diǎn)處的不穩(wěn)定流形必是有限個(gè)區(qū)間的并、不動(dòng)點(diǎn)p的不穩(wěn)定流形與p的任意鄰域的交集,通過f有限次迭代之后,會(huì)包含p的不穩(wěn)定流形、周期點(diǎn)集有限的連續(xù)自映射f在不動(dòng)點(diǎn)p的不穩(wěn)定流形中沒有異于P的點(diǎn)經(jīng)f映射成p等等,本文還指出,在具有最大最小元的CDLOTS上,連續(xù)自映射的不穩(wěn)定流形的邊界點(diǎn),如果不屬于流形本身,則必為該連續(xù)自映射的周期點(diǎn)。
4、> ⑶關(guān)于單側(cè)不穩(wěn)定流形,得到了“連續(xù)自映射的兩個(gè)相鄰不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間必含于其中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的單側(cè)不穩(wěn)定流形之中”和“周期點(diǎn)集有限的連續(xù)自映射,其不動(dòng)點(diǎn)處的不穩(wěn)定流形被該不動(dòng)點(diǎn)按序關(guān)系截為兩部分,分別為該不動(dòng)點(diǎn)的左、右側(cè)不穩(wěn)定流形”等結(jié)論。
⑷對(duì)廣義周期點(diǎn)中的非游蕩點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行了推廣,在一般拓?fù)淇臻g上得到非游蕩點(diǎn)的等價(jià)條件,證明了非游蕩集是閉不變集,并給出了第一可數(shù)的Hausdorff空間中連續(xù)自映射的非游蕩集的等價(jià)描