非線性方程N(yùn)ewton型迭代解法與幾何迭代算法.pdf

1、非線性問題在現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中占有相當(dāng)重要的地位,由實(shí)際問題經(jīng)過數(shù)學(xué)模型化導(dǎo)出方程(組)往往是非線性的,因此如何更好的合理解決這些非線性方程(組)在近幾十年來成為一個(gè)非常熱門的研究課題。文章研究的主要內(nèi)容是求解非線性方程N(yùn)ewton型迭代解法與幾何迭代算法。
　　 1我們提供了具有高階收斂的修改Newton型迭代法,這種方法是基于King四階收斂方法,這個(gè)方法在每次迭代過程中只需要三步,且收斂階數(shù)是16階。一些例子顯示我們所給出的N

2、ewton型方法比Newton方法和其它方法的更有效的和更好的性能。
　　 2對于非線性方程重根數(shù)m并且重根數(shù)是未知的零點(diǎn)問題,我們提供了給出了五階收斂的新的Newton型的迭代方法。我們用數(shù)值分析方法證明和分析了我們的方法是五階,一些測試函數(shù)的例子顯示了我們所給出的方法要比存在的方法要優(yōu)越。
　　 3基于Li等人的四階收斂方法[Li,Zheng,Zhao,a variant of Steffenson'smethod

3、of fourth-order convergence and its applications,Appl.Math.Comput.216(2010),1978-1983],我們提供了一個(gè)比較魯棒的七階三步迭代方法,其中這個(gè)迭代方法是不需要求函數(shù)導(dǎo)數(shù),并且指標(biāo)有效性能達(dá)到1.626。
　　 4一類三步八階求解零點(diǎn)的迭代方法被我們所構(gòu)造。我們主要是用有理函數(shù)插值的方法來實(shí)現(xiàn)三步八階迭代公式。在我們所構(gòu)造的八階迭代公式中,我們的指標(biāo)

4、效用是最優(yōu)的,也就是說這個(gè)指標(biāo)效用能符合Kung-Traub猜想,并且我們這個(gè)迭代公式是多點(diǎn)迭代不需要內(nèi)存的。更進(jìn)一步,我們構(gòu)造這類迭代方法在每次迭代過程中是不需要求函數(shù)導(dǎo)數(shù),因而在工程計(jì)算中具有很強(qiáng)的實(shí)用性,我們也給出了這類方法的很好的分析。為了測試這類迭代公式的準(zhǔn)確性,一些測試?yán)语@示我們提供的無函數(shù)導(dǎo)數(shù)的迭代方法比在文獻(xiàn)中提供的迭代方法要好。
　　 5在Petkofic[SIAM J.NUMER.ANAL.47(2010)

5、,pp.4402-4414]中,一類n點(diǎn)求解非線性方程單根的方法被構(gòu)造出來了。作者證明了這類迭代方法收斂階數(shù)是2n,在每次迭代過程中,需要n+1個(gè)評估值函數(shù)。在我們這個(gè)注解中,我們發(fā)現(xiàn)作者所給出這類通常的迭代公式是不支持Kung-Traub多點(diǎn)迭代的猜想(1974)。
　　 6關(guān)于點(diǎn)到參數(shù)曲線正交投射和逆向問題,清華大學(xué)胡事民教授等人提供了一種基于曲率信息的算法(見Computer Aided Geometric Design,

6、22(2005)251-260)。他們談到是二階收斂,但沒有給出證明,我們在這個(gè)注記里,證明了點(diǎn)到參數(shù)曲線的投射問題是二階全局收斂的,對于點(diǎn)到參數(shù)曲線的逆向問題是三階全局收斂的,而不是二階收斂。關(guān)于點(diǎn)到空間參數(shù)曲線的最近距離或者是反求參數(shù)問題。我們利用曲率性質(zhì)構(gòu)造了一種全局收斂的幾何迭代方法。這種迭代方法要比Newton迭代方法的速度快。不存在初始點(diǎn)敏感問題。利用數(shù)值分析的方法,我們給出了嚴(yán)格的證明是二階全局收斂的。關(guān)于點(diǎn)到參數(shù)曲面的最