一類Schrodinger-Maxwell方程和序列分數階微分方程的解.pdf

1、非線性問題來源于幾何學,天文學,流體力學,彈性力學,物理學,化學,生物,控制論,圖像處理和經濟學等許多學科.非線性泛函分析起源于一百多年前,它的目的就是建立一些抽象的拓撲方法和變分方法來研究這些應用學科中的非線性問題.雖然它是-個比較新的領域,但是已經取得了顯著的進展,尤其是近三十年取得了快速發(fā)展,它已經成為現代數學分析的主流研究領域.非線性泛函分析的理論和方法源于數學的許多領域,比如常微分方程,偏微分方程,變分學,動力系統(tǒng),微分幾何,

2、Lie群,代數拓撲,線性泛函分析,測度論,調和分析,凸分析,博弈論,優(yōu)化理論等等.目前非線性泛函分析的主要內容包括拓撲度理論,臨界點理論,半序方法,局部和全局分歧理論等.許多數學家為非線性泛函分析學科的發(fā)展做出了重要貢獻,例如L.Lusternick,L.Schnirelman,M.Morse,R.S.Palais,S.Smale,E.Rothe,M.A.Krasonsel'skii,H.Amann,A.Ambrosetti,P.Rab

3、inowitz,I.Ekeland,H.Brézis,L.Nirenberg.國內的張恭慶教授,郭大鈞教授,陳文源教授,孫經先教授等在非線性泛函分析的許多領域都取得了非常出色的成就(參見文獻[2,3,7,15,16,32,35,41,45,47,48,58,64,73,78,91,94]).
　　 在本論文中,我們首先用變分法得到了Schr(o)dinger-Maxwell方程解的存在性結果,然后分別用上下解方法和不動點定理討論

4、了一類序列分數階微分方程解的存在性.Schr(o)dinger-Maxwell方程是在尋找非線性Schr(o)dinger方程與-個未知靜電場相互作用的駐波解時得到的.更多關于它的物理背景可以參考[29,39]及其中的參考文獻.近年來,Schr(o)dinger-Maxwell駐波解的存在性被許多學者廣為研究,可以參見文獻[17,19,36-39,60,82,93,99,100].分數階微分方程出現在許多研究領域,例如物理,化學,空氣動

5、力學,復雜介質電動力學,聚合物流變學,控制動力系統(tǒng)等等.近來,許多學者關注分數階微分方程的初值和邊值問題解的存在性,參見[13,42,43,57,61,63,75,80,96,98]分數階微積分理論的進展可以參見[10,44,62,70,72,74,76,85].
　　 在第一章中,我們首先介紹了變分法的發(fā)展歷程、基本思想以及一些最新進展。然后介紹了Sobolev空間的定義和相應的嵌入定理.第三節(jié)中引入了-個橢圓方程邊值問題弱解

6、的定義,(P.S.)條件的定義以及幾個極小極大定理.第四節(jié)中介紹了幾個常用不等式和Lebesgue積分理論中幾個基本定理.最后一節(jié)介紹了Riemann-Liouville分數階積分和導數的定義和幾個基本性質.
　　 在第二章中,我們考慮如下的非線性靜態(tài)的Schr(o)dinger-Maxwell方程其中對于位勢V,我們假設V∈C(R3,R),infx∈R3 V(x)≥a1>0,a1>0而且對任意M>0,mess{x∈R3∣ V(

7、x)≤M｝<∞.對于非線性項f,我們沒有假設所謂的“Ambrosetti-Rabinowitz”型條件,所以(P.S.)條件的驗證變得非常復雜.為了克服這一困難,我們利用鄒文明在文獻[W.Zou Variant fountain theorems and theirapplications,Manu.Math.104(2001)343-358]中得到的變化的噴泉定理來證明問題(0.1)無窮多個高能量解的存在性.
　　 在第三章中