一類Schrodinger-Maxwell方程和序列分?jǐn)?shù)階微分方程的解.pdf

1、非線性問題來源于幾何學(xué),天文學(xué),流體力學(xué),彈性力學(xué),物理學(xué),化學(xué),生物,控制論,圖像處理和經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多學(xué)科.非線性泛函分析起源于一百多年前,它的目的就是建立一些抽象的拓?fù)浞椒ê妥兎址椒▉硌芯窟@些應(yīng)用學(xué)科中的非線性問題.雖然它是-個(gè)比較新的領(lǐng)域,但是已經(jīng)取得了顯著的進(jìn)展,尤其是近三十年取得了快速發(fā)展,它已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的主流研究領(lǐng)域.非線性泛函分析的理論和方法源于數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域,比如常微分方程,偏微分方程,變分學(xué),動(dòng)力系統(tǒng),微分幾何,

2、Lie群,代數(shù)拓?fù)?線性泛函分析,測度論,調(diào)和分析,凸分析,博弈論,優(yōu)化理論等等.目前非線性泛函分析的主要內(nèi)容包括拓?fù)涠壤碚?臨界點(diǎn)理論,半序方法,局部和全局分歧理論等.許多數(shù)學(xué)家為非線性泛函分析學(xué)科的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn),例如L.Lusternick,L.Schnirelman,M.Morse,R.S.Palais,S.Smale,E.Rothe,M.A.Krasonsel'skii,H.Amann,A.Ambrosetti,P.Rab

3、inowitz,I.Ekeland,H.Brézis,L.Nirenberg.國內(nèi)的張恭慶教授,郭大鈞教授,陳文源教授,孫經(jīng)先教授等在非線性泛函分析的許多領(lǐng)域都取得了非常出色的成就(參見文獻(xiàn)[2,3,7,15,16,32,35,41,45,47,48,58,64,73,78,91,94]).
　　 在本論文中,我們首先用變分法得到了Schr(o)dinger-Maxwell方程解的存在性結(jié)果,然后分別用上下解方法和不動(dòng)點(diǎn)定理討論

4、了一類序列分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性.Schr(o)dinger-Maxwell方程是在尋找非線性Schr(o)dinger方程與-個(gè)未知靜電場相互作用的駐波解時(shí)得到的.更多關(guān)于它的物理背景可以參考[29,39]及其中的參考文獻(xiàn).近年來,Schr(o)dinger-Maxwell駐波解的存在性被許多學(xué)者廣為研究,可以參見文獻(xiàn)[17,19,36-39,60,82,93,99,100].分?jǐn)?shù)階微分方程出現(xiàn)在許多研究領(lǐng)域,例如物理,化學(xué),空氣動(dòng)

5、力學(xué),復(fù)雜介質(zhì)電動(dòng)力學(xué),聚合物流變學(xué),控制動(dòng)力系統(tǒng)等等.近來,許多學(xué)者關(guān)注分?jǐn)?shù)階微分方程的初值和邊值問題解的存在性,參見[13,42,43,57,61,63,75,80,96,98]分?jǐn)?shù)階微積分理論的進(jìn)展可以參見[10,44,62,70,72,74,76,85].
　　 在第一章中,我們首先介紹了變分法的發(fā)展歷程、基本思想以及一些最新進(jìn)展。然后介紹了Sobolev空間的定義和相應(yīng)的嵌入定理.第三節(jié)中引入了-個(gè)橢圓方程邊值問題弱解

6、的定義,(P.S.)條件的定義以及幾個(gè)極小極大定理.第四節(jié)中介紹了幾個(gè)常用不等式和Lebesgue積分理論中幾個(gè)基本定理.最后一節(jié)介紹了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的定義和幾個(gè)基本性質(zhì).
　　 在第二章中,我們考慮如下的非線性靜態(tài)的Schr(o)dinger-Maxwell方程其中對于位勢V,我們假設(shè)V∈C(R3,R),infx∈R3 V(x)≥a1>0,a1>0而且對任意M>0,mess{x∈R3∣ V(

7、x)≤M｝<∞.對于非線性項(xiàng)f,我們沒有假設(shè)所謂的“Ambrosetti-Rabinowitz”型條件,所以(P.S.)條件的驗(yàn)證變得非常復(fù)雜.為了克服這一困難,我們利用鄒文明在文獻(xiàn)[W.Zou Variant fountain theorems and theirapplications,Manu.Math.104(2001)343-358]中得到的變化的噴泉定理來證明問題(0.1)無窮多個(gè)高能量解的存在性.
　　 在第三章中