雙時(shí)滯van der Pol方程離散格式的Neimark-Sacker分支.pdf

1、若微分動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)的發(fā)展演化不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，同時(shí)還依賴于系統(tǒng)在以前的某些時(shí)刻甚至某些時(shí)間區(qū)段的狀態(tài)，則稱此類動(dòng)力系統(tǒng)為時(shí)滯微分動(dòng)力系統(tǒng)，描寫(xiě)此類動(dòng)力系統(tǒng)的微分方程(組)稱為時(shí)滯微分方程(組)．由于時(shí)滯微分動(dòng)力系統(tǒng)在描述客觀事物時(shí)比常微分動(dòng)力系統(tǒng)更深刻、更豐富，因而對(duì)時(shí)滯微分動(dòng)力系統(tǒng)開(kāi)展研究有深刻的理論意義和實(shí)際意義． 從定性分析的角度考慮，由于時(shí)滯微分方程的初值條件是初始函數(shù)而非簡(jiǎn)單的初值，因而時(shí)滯微分動(dòng)力系統(tǒng)與常微分

2、動(dòng)力系統(tǒng)相比可能出現(xiàn)更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為．此外，由于時(shí)滯微分方程的復(fù)雜性，對(duì)其很難求出解析解，因而對(duì)其開(kāi)展數(shù)值分析研究是十分必要的． 對(duì)于依賴參數(shù)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，當(dāng)其參數(shù)歷經(jīng)某一臨界值時(shí)，動(dòng)力系統(tǒng)的解集的結(jié)構(gòu)將發(fā)生顯著的變化，這就是動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論所要研究的問(wèn)題．在眾多分支現(xiàn)象中，一種備受人們關(guān)注的分支現(xiàn)象是Hopf分支．Hopf分支刻畫(huà)的是系統(tǒng)的解集從某一平衡態(tài)向周期狀態(tài)的演化．從動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值分析的角度來(lái)看，我們是有理由

3、要求求解動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值方法保持動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性的．比如如果原動(dòng)力系統(tǒng)在參數(shù)值μ=μ*處產(chǎn)生Hopf分支，我們自然希望求解該系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法在參數(shù)μ=μ*附近產(chǎn)生Neimark-Sacker分支(即第二類Hopf分支)．這一研究領(lǐng)域是近年來(lái)備受數(shù)值分析的相關(guān)學(xué)者關(guān)注的． 本文考慮了具有雙時(shí)滯的van der Pol方程T<,1>，T<,2>的變化直接影響時(shí)滯微分系統(tǒng)(1)解集的結(jié)構(gòu)，而且T<,1>，T<,2>所處地位相當(dāng)

4、．文<'[68]>中固定T<,2>選取T<,1>為分支參數(shù)，得到如下結(jié)論定理存在T<,1>=T<'0><,1>使得ω<'2>=aωsinT<,1>ω+cos(T<,1>+T<,2>)ωaωCOST<,1>ω-sin(T<,1>+T<,2>)ω=0成立，且系統(tǒng)(1)在E<,0>=(0，0)點(diǎn)，當(dāng)T<,1>穿越T<'0><,1>時(shí)有Hopf分支產(chǎn)生． 對(duì)方程(1)采用Euler方法求解，利用線性插值近似x(t-T<,1>)和y(t-

5、T<,2>)可以得到系統(tǒng)(1)的離散格式為文中通過(guò)對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)和離散格式二者特征方程矩陣形式的直接對(duì)比分析獲得了離散格式(3)的特征根結(jié)構(gòu)，這使得我們可以證明如下定理定理當(dāng)步長(zhǎng)h充分小時(shí)，雙時(shí)滯vail der Pol方程(1)的向前Euler離散格式(3)在T<'h><,1>=T<'0><,1>+O(h)處具有Neimark-Sacker分支，其中T<.0><,1>為方程(1)的Hopf分支值． 此定理是本文的主要結(jié)論，它表明解