帶交易費路徑依賴期權(quán)的定價問題和數(shù)值計算.pdf

1、期權(quán)定價問題是金融數(shù)學中的核心問題之一,Black,Scholes和Merton,用無套利復制方法,得到了期權(quán)定價公式,這一開創(chuàng)性工作被譽為現(xiàn)代金融理論的一次革命。
　　 和傳統(tǒng)的期權(quán)定價問題比較,本文主要研究在帶固定比例交易費率的不完全市場,對路徑依賴期權(quán)進行定價。我們研究了有路徑依賴期權(quán)交易的價值函數(shù)性質(zhì),其滿足的變分不等方程,數(shù)值計算的離散格式,以及收斂性。
　　 第一章引言部分,介紹完全市場下期權(quán)定價方法,不完全

2、市場下期權(quán)的定價方法,重點講敘Merton最優(yōu)投資消費問題及該思想應(yīng)用到不完全市場期權(quán)定價。介紹了完全市場中普通期權(quán),路徑依賴期權(quán),美式期權(quán)的定價發(fā)展過程。簡要說明了偏微分方程粘性解的發(fā)展過程。指出了本文的主要工作和創(chuàng)新。
　　 第二章我們介紹了預(yù)備知識,包括完全市場下的期權(quán)定價方法,偏微分方程粘性解理論,算術(shù)平均亞式期權(quán)插值離散收斂性,Merton最優(yōu)投資消費問題。
　　 其中完全市場的期權(quán)定價方法主要有兩種,一種采用

3、自融資復制策略,另一種采用對沖策略。自融資復制策略中,介紹了自融資策略的定義,等價形式,風險中性測度,未定權(quán)益在風險中性測度下的表示形式。對沖策略中,介紹了對沖策略的定義,以及Black-Scholes的推導過程。
　　 偏微分方程粘性解理論中,介紹了偏微分方程粘性解的定義及等價定義,偏微分方程邊值問題粘性解的定義,狀態(tài)約束粘性解的定義及等價定義。介紹了偏微分方程邊值問題粘性解滿足的比較原理以及狀態(tài)約束粘性解滿足的比較原理。

4、r>　　 算術(shù)平均亞式期權(quán)插值離散收斂性中,介紹了算術(shù)平均亞式期權(quán)的離散格式及插值形式。對離散形式我們給出了截斷誤差及其證明,對插值形式我們給出了插值誤差及其證明。
　　 Merton最優(yōu)投資組合問題中,介紹了Merton問題及其對應(yīng)的HJB方程,在一定情形下給出顯式表達式。
　　 第三章考慮存在固定交易費率市場,有路徑依賴期權(quán)交易對應(yīng)的價值函數(shù)的研究。給出了價值函數(shù)的性質(zhì)和對應(yīng)的變分不等方程。
　　 其中價值

5、函數(shù)的研究中,建立了數(shù)學模型,給出了對應(yīng)價值函數(shù)的定義及性質(zhì)。價值函數(shù)的性質(zhì)包括凸凹性,有界性,齊次性等。給出了期權(quán)的定價公式及其意義,并證明了在一定條件下與復制策略定義的期權(quán)價格的等價性。
　　 給出價值函數(shù)對應(yīng)的變分不等方程,證明了價值函數(shù)是對應(yīng)變分不等方程的唯一約束粘性解。通過構(gòu)造嚴格上解,給出變分不等方程滿足的強比較原理,其證明參見第五章。在特殊情形下,給出了價值函數(shù)的顯式表達式,證明其是變分不等方程的約束粘性解。

6、>　　 第四章考慮存在固定交易費率市場,有路徑依賴期權(quán)交易對應(yīng)的價值函數(shù)數(shù)值算法。采用馬氏鏈方法進行離散,并對離散格式進行分析。特殊情形下,采用數(shù)學歸納法,得到無期權(quán)交易時價值函數(shù)的交易策略。在特殊效用函數(shù)下,對價值函數(shù)進行降維,給出降維后價值函數(shù)滿足的變分不等方程以及離散格式。最后對數(shù)值結(jié)果進行了數(shù)值分析。
　　 其中離散格式分析中包括變量的離散,變分不等方程的離散格式,邊界上交易策略的存在性,有界性,內(nèi)部點交易策略的存在性

7、,有界性。最后通過延拓函數(shù),證明離散格式的收斂性。
　　 第五章考慮存在固定交易費率市場,帶跳擴散的路徑依賴期權(quán)數(shù)值算法。
　　 建立了有跳擴散浮動敲定價格路徑依賴期權(quán)交易對應(yīng)的效用函數(shù)期望最大化問題的數(shù)學模型,在此基礎(chǔ)上給出期權(quán)定價公式,通過動態(tài)規(guī)劃原理,給出價值函數(shù)滿足的變分不等方程,并證明價值函數(shù)是變分不等方程的唯一約束粘性解。
　　 通過構(gòu)造嚴格上解,將無界區(qū)域轉(zhuǎn)化到有界區(qū)域,運用ISHII技巧證明變分不

8、等方程滿足強比較定理。
　　 采用馬氏鏈方法進行離散,在選取恰當?shù)碾x散參數(shù)下,證明了當步長趨于零時,離散格式對應(yīng)的延拓函數(shù)是對應(yīng)變分不等方程的約束粘性解。
　　 第六章考慮市場同時存在不同借貸利率,固定交易費率,購買一份路徑依賴美式浮動敲定價格看漲期權(quán)對應(yīng)的效用函數(shù)期望最大化問題,給出了不完全市場下價值函數(shù)所滿足的變分不等方程。
　　 通過馬氏鏈給出了變分不等方程的離散格式,證明了在粘性意義下離散格式的收斂性。最