兩類矩陣逆問題和幾類約束矩陣方程問題的理論和新算法.pdf

1、矩陣逆問題是矩陣逆特征值問題的延伸,矩陣逆特征值問題就是根據(jù)給定的譜數(shù)據(jù)構造矩陣的問題,它在控制設計,地球物理學,分子光譜學,粒子物理學,結(jié)構分析等領域都有廣泛的應用.ε(半)正定和邊界約束下的Procrustes問題來源于數(shù)理經(jīng)濟和數(shù)量統(tǒng)計.約束矩陣方程問題則是在滿足一定約束條件的矩陣集合中求矩陣方程的解的問題,它是近年來數(shù)值代數(shù)領域中研究和討論的重要課題之一,在結(jié)構設計,系統(tǒng)識別,結(jié)構動力學,自動控制理論,振動理論等領域有著廣泛的應

2、用.本篇博士論文研究了兩類特殊矩陣的逆特征值,系統(tǒng)研究了ε(半)正定和邊界約束下的Procrustes問題和幾類約束矩陣方程問題,完成的主要工作和取得的研究成果如下:
　　 1.研究了兩類新的對稱矩陣-(R,S,μ)對稱及(R,S,α,μ)對稱矩陣的逆問題,最佳逼近問題,得到了逆問題有解的充要條件,給出了通解表達式和最佳逼近解的表達式,并定量地討論了對于最佳逼近問題的擾動性分析,給定出了擾動分析上界具體表達式.
　　 2

3、.利用Dykstra'S交替投影算法,系統(tǒng)地解決了ε(半)正定和邊界約束下的Procrustes問題.數(shù)值例子驗證了算法的可行性和高效性.該問題用傳統(tǒng)的矩陣分解技巧或傳統(tǒng)的CG類迭代法難以求解,因為難以對邊界約束給出具體解析表達式,或構造CG類迭代格式使更新矩陣滿足邊界條件.
　　 3.在交替投影算法理論的基礎上,我們構造迭代算法系統(tǒng)地研究了線性矩陣方程AX=B,AXB=C,AXAT=B,AX+BY=C等在線性子空間或閉凸集(錐

4、)的求解及其最佳逼近問題.豐富的數(shù)值實例表明,當系統(tǒng)維數(shù)較大時,該算法無論從迭代時間還是迭代步都比傳統(tǒng)的迭代算法,如CG,CGLS算法有明顯的優(yōu)勢.且當維數(shù)成倍增加時,由該算法得到相同精度的解所需的迭代步只是個位數(shù)的增長.該算法具有全局收斂性,當初始矩陣取為零矩陣,該算法能得到矩陣方程的在所給約束集合上的極小范數(shù)解.若初始矩陣為所給定的初始估計矩陣,該算法能得到相應的最佳逼近解.
　　 4.通過構造具有短遞推格式的迭代方法,成功