兩類矩陣逆問(wèn)題和幾類約束矩陣方程問(wèn)題的理論和新算法.pdf

1、矩陣逆問(wèn)題是矩陣逆特征值問(wèn)題的延伸,矩陣逆特征值問(wèn)題就是根據(jù)給定的譜數(shù)據(jù)構(gòu)造矩陣的問(wèn)題,它在控制設(shè)計(jì),地球物理學(xué),分子光譜學(xué),粒子物理學(xué),結(jié)構(gòu)分析等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.ε(半)正定和邊界約束下的Procrustes問(wèn)題來(lái)源于數(shù)理經(jīng)濟(jì)和數(shù)量統(tǒng)計(jì).約束矩陣方程問(wèn)題則是在滿足一定約束條件的矩陣集合中求矩陣方程的解的問(wèn)題,它是近年來(lái)數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域中研究和討論的重要課題之一,在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),系統(tǒng)識(shí)別,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué),自動(dòng)控制理論,振動(dòng)理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)

2、用.本篇博士論文研究了兩類特殊矩陣的逆特征值,系統(tǒng)研究了ε(半)正定和邊界約束下的Procrustes問(wèn)題和幾類約束矩陣方程問(wèn)題,完成的主要工作和取得的研究成果如下:
　　 1.研究了兩類新的對(duì)稱矩陣-(R,S,μ)對(duì)稱及(R,S,α,μ)對(duì)稱矩陣的逆問(wèn)題,最佳逼近問(wèn)題,得到了逆問(wèn)題有解的充要條件,給出了通解表達(dá)式和最佳逼近解的表達(dá)式,并定量地討論了對(duì)于最佳逼近問(wèn)題的擾動(dòng)性分析,給定出了擾動(dòng)分析上界具體表達(dá)式.
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3、.利用Dykstra'S交替投影算法,系統(tǒng)地解決了ε(半)正定和邊界約束下的Procrustes問(wèn)題.數(shù)值例子驗(yàn)證了算法的可行性和高效性.該問(wèn)題用傳統(tǒng)的矩陣分解技巧或傳統(tǒng)的CG類迭代法難以求解,因?yàn)殡y以對(duì)邊界約束給出具體解析表達(dá)式,或構(gòu)造CG類迭代格式使更新矩陣滿足邊界條件.
　　 3.在交替投影算法理論的基礎(chǔ)上,我們構(gòu)造迭代算法系統(tǒng)地研究了線性矩陣方程AX=B,AXB=C,AXAT=B,AX+BY=C等在線性子空間或閉凸集(錐

4、)的求解及其最佳逼近問(wèn)題.豐富的數(shù)值實(shí)例表明,當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)較大時(shí),該算法無(wú)論從迭代時(shí)間還是迭代步都比傳統(tǒng)的迭代算法,如CG,CGLS算法有明顯的優(yōu)勢(shì).且當(dāng)維數(shù)成倍增加時(shí),由該算法得到相同精度的解所需的迭代步只是個(gè)位數(shù)的增長(zhǎng).該算法具有全局收斂性,當(dāng)初始矩陣取為零矩陣,該算法能得到矩陣方程的在所給約束集合上的極小范數(shù)解.若初始矩陣為所給定的初始估計(jì)矩陣,該算法能得到相應(yīng)的最佳逼近解.
　　 4.通過(guò)構(gòu)造具有短遞推格式的迭代方法,成功