對偶一致突變人口過程與對偶幾何突變人口過程.pdf

1、概率方法和分析方法是研究Markov過程理論的兩種常用方法。概率方法形象、直觀、概率意義清晰，被許多生物學家、物理學家、化學家等喜愛；而分析方法則有表達明快、簡潔的特點，所以分析方法所表達的結果更適合于將Markov過程的理論與其它數(shù)學學科的成就聯(lián)系起來。在分析的方法中，對偶是一個很重要的技巧，尤其在連續(xù)時間Markov過程和相互作用的粒子系統(tǒng)中，更具有舉足輕重的作用，因為對所研究的過程，通過對偶關系，可以使原過程的問題轉化為對偶過程的

2、問題，如果對偶過程比原過程簡單，那么轉換了的問題可能比原問題便于處理。
　　 本文著力于使用分析的方法，以對偶作為橋梁，研究兩類重要的連續(xù)時間Markov過程——對偶一致突變人口過程，以及對偶幾何突變人口過程。在第二章中，我們從一致突變人口過程的q-矩陣入手，首先給出
　　 命題2.1.1對偶一致突變人口過程的q-矩陣Q(2)=(q(2)ij)為q(2)ij={a+(i-1)b-[a+(i-1)b+id]0j=i-1，i

3、≥1j=i，i≥1其它情況
　　 命題2.2.1對偶一致突變人口過程的最小轉移函數(shù)f(2)ij(t)滿足limi→∞f(2)ij=0，j∈E即f(2)ij(t)是一個Feller轉移函數(shù)。
　　 由參考文獻[1]可知Feller轉移函數(shù)是后向方程的最小解，那么對偶一致突變人口過程的最小轉移函數(shù)f(2)ij(t)同前向方程之間有沒有類似的性質存在呢?根據下面的性質我們將會看到對偶一致突變人口過程的最小轉移函數(shù)f(2)ij(

4、t)不僅是前向方程的解，還是前向方程的唯一解。
　　 命題2.2.3若fij(t)為對偶一致突變人口過程的最小轉移函數(shù)，則fij(t)是前向方程的唯一解。
　　 緊接著，我們討論了對偶一致突變人口過程的滅絕概率和平均滅絕時間，得到了如下結果
　　 命題2.3.1令hi表示對偶一致突變人口過程的滅絕概率，即hi=p(To＜+∞|x(0)=i)，則hi=iлm-0a+(m-1)b/a+m(m-1)b+md
　　

5、 命題2.3.2令mi表示對偶一致突變人口過程的平均滅絕時間，即mi=E(To|x(0)=i)，(i≥0)，則mi={i∑j=1j-1лk=0a+(i-k-1)b/-[a+(i-k-1)b+(i-k)d][a+(i-j)b]i≥10i=0
　　 同對偶一致突變人口過程一樣，在第三章中，我們從幾何突變q-矩陣的對偶矩陣入手，在此基礎上討論了其轉移函數(shù)的唯一性及其滅絕概率條件，得到如下結果
　　 命題3.1.1對偶幾何突變

6、人口過程的q-矩陣(Q)=(qij)具有如下形式，qij=(j-1)dqj-i-1 j≥i+1，i≠0-[a+(i-1)b+id] j=i，i≠0a+(i-1)b j=i-10其它情況其中常量a，b非負，d＞0，0≤q＜1/2，p=1-q.
　　 命題3.2.1對偶幾何突變人口過程的q-矩陣(Q)=((q)ij)具有如下性質.(1)(Q)是一個Feller q-矩陣.(2)Q是零流出的.(3)Q在l1上是零流入的.