非線性積分微分方程的基本理論.pdf

1、樸非 線 性 積 分 微 分 方 程 的 基 本 理 論 V 4 8 7 4 4 , ;吳兆榮( 濟南大 學 理學院 ， 山東 濟南2 5 0 0 0 2 )摘 要本文對幾類非線性積分微分方程的初值問題和邊值問 題進行了 研究。全文共分三章。 第一章對所研究問 題的歷史和現(xiàn)狀進行了綜述， 并給出了必要的定義、定 理 和記號， 這些內 容主 要 取自 于 文 獻I l l - f o l 2 ] .第二章第一節(jié)利用A s c o l i

2、- A r z e l a 不動點定理研究了B a n a c h 空間V o l t e r r a 型一階非線性積分 微分 方程的初值問 題解的局部存在性設IB 一 卜 { 二 。二 [ 0 , a ] 是實直 線上的閉 區(qū) 間，(份 到 了 ” 下 結 果 : E , j - } { )是 實B a n a c h 空 間 , B 是E 中 閉 球 ， 即E ， 且 1 } 二 一 二 。 1 1 5 牙 ( 其 中 x , 。

3、 : ， 。 為 常 數(shù) ) ， x e C 1 I , B ] , ( K x ) ( t ) = 工 k ( t , s ) x ( s ) d s ， 其 中k ( t , s ) E C [ D O , R ] , D o = { ( t , s ) E R 2 1 0 5 su ) I I ( t , x , u ) 。 ， 、 。 、 。 } . /第二章第二節(jié)利用壓縮映射原理研究了 B a n a c

4、 h空間 V o l t e r r a型二階非線性積分微分方程的邊值問 題。一 x “ ( t ) 二 f ( t , x ( 1 ) , x ' ( t ) , ( K x ) ( t ) ) ,00 _ 0 ， 使 對 任 何 t G I , x , Y E [ Y a , Z O ] , x 5 Y :f ( t , y ( t ) , ( K y ( t ) ) , ( H y ) ( t ) ) 一

5、 f ( t , x ( t ) , ( K x ) ( t ) , ( H x ) ( t ) ) ? - L - ( x ( t ) 一 AM,人 WO) ‘ J ; ( Y ( t , ) ) , i = 1 , 2 , . . - , m( H 3 )對 任 何1 G 1 ， 及 單 調 序 列B c [ Y o , Z O ] ， 若B 在1 ; ( i = 1 , 2 ， 二 ， m ) 上 等 度 連

6、 續(xù) ， 則a ( f ( t , B ( t ) , ( K B ) ( t ) , ( H B ) ( t ) ) ‘ L , a ( B ( t ) ) + L 2 a ( ( K B ) ( t ) ) + L , a ( ( H B ) ( t ) )a ( J , ( B ( t , ) ) < _ M, a ( B ( t ) ) ，i = 1 , 2 , . , m其中L , ( i 二 1

7、 , 2 , 3 ) , M , ( i = 1 , 2 , 3 ) 都 是 非 負 常 數(shù)， 且a ( 2 L + 2 L , + a k O L , + a h O L , ) + 藝 M , < 1( H 4 ) 存 在 常 數(shù)R ? 0 , R ; ? 0 ( i 二 1 , 2 , . . , m ) ， 使 對t E I , x , y ‘ [ Y o , Z o 1 , x ‘ Yf (

8、t , y ( 1 ) , ( K y ( t ) ) , ( H y ) ( t ) ) 一 f ( t , x ( t ) , ( K x ) ( t ) , ( H x ) ( t ) ) ‘ R - ( x ( t ) 一 Y ( O )J , ( Y ( t , ) ) 一 J ; ( x ( t , ) ) ‘ R , ( ( Y ( 1 , ) ) 一 x ( 1 ) )i = 1 , 2 , ‘

9、 二 ， m其 中 [ R 。 十 L 。 十 藝 R 小 N < 1 , N 為 錐 尸 的 正 規(guī) 常 數(shù) .定 理3 . 1 . 1設E 是B n a n c h 空間 ， P 為E 中 的 正 規(guī) 錐， 若 ( H I ) , ( H 2 ) , ( H 3 ) 成 立 ， 則 上 述I V P在 [ Y o , Z o ] 中 必 有 最 小 解 廠 和 最 大 解: ‘ ， 更 進 一 步 ， 若 以 Y o ,

10、z 。 為 初 始 值 做 迭 代 :， 。 ( ， ) 二 x o e - L , + J ( e - L ( 0， 一 ， [ . f ( s , Y 。 一 ， ( s ) , ( K Y - , ) ( s ) , ( H Y n - , ) ( s ) ) + L Y n - 1 ( s ) ] d s +藝 e - L ( ‘ 一 ‘ ) J ( ， ， 一 ， ( ‘ ) ) u ( ‘ 一 ‘ ， )z(