時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程高階數(shù)值解法.pdf

1、本文主要研究幾類時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的高精度數(shù)值解法并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式.
　　首先，研究一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程的高階數(shù)值算法，并給出相應(yīng)的先驗(yàn)估計(jì)式.基于帶權(quán)和位移的Griinwald-Letnikov算子[48，64]，選取位移(p，q，r）=（0，-1，-2），利用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在一定的光滑條件下等價(jià)，推導(dǎo)出一種新的三階逼近公式來(lái)離散Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).空間方向

2、結(jié)合平均算子技術(shù)，對(duì)方程構(gòu)造了一種新的緊差分格式（稱為GL3差分格式）.利用離散能量分析方法，嚴(yán)格證明了GL3差分格式無(wú)條件穩(wěn)定和收斂.
　　其次，討論二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程的高階數(shù)值算法.遵循一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程有限差分格式的構(gòu)造技巧，對(duì)二維問(wèn)題建立時(shí)間和空間均為高階的差分格式，并分析了差分格式在L1(L∞)范數(shù)意義下是無(wú)條件穩(wěn)定和收斂的.對(duì)于二維情形，由于H1半范不能嵌入到無(wú)窮模，因此，二維問(wèn)題的理論分析技巧與一

3、維問(wèn)題有著本質(zhì)的區(qū)別.同時(shí)，通過(guò)添加小量項(xiàng)，對(duì)二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常低擴(kuò)散方程建立緊交替方向隱式差分格式（稱為緊ADI格式），通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了緊ADI格式的收斂階和有效性.
　　再次，研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的有效差分格式.在方程兩端作用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子，將原方程轉(zhuǎn)化為積分-微分方程.利用線性插值思想，推導(dǎo)出一種新的二階離散公式逼近Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子，并對(duì)等價(jià)方程建立高階

4、的數(shù)值格式.通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證該差分格式的收斂階和有效性.
　　最后，研究帶第一類Dirichlet邊值條件的四階分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的空間高精度的數(shù)值算法.在點(diǎn)x0，x1，x2，x3處和點(diǎn)xM，xM-1，xM-2，xM-3處分別對(duì)uxx(x，t)進(jìn)行線性組合，推導(dǎo)出第一類Dirichlet邊值條件的具有四階精度的離散公式，空間方向內(nèi)部點(diǎn)作用平均算子，用L1離散公式逼近時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，對(duì)方程建立空間一致四階的差分格式.利用數(shù)學(xué)歸納方法和離