多面體外接球半徑內(nèi)切球半徑的常見幾種求法

1、多面體外接球、內(nèi)切球半徑常見的5種求法如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.公式法例1一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于

2、底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個(gè)球的體積為.98解設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有xh26312936384xxxhh????????????????∴正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑12r?32d?..221Rrd???43V???球小結(jié)本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.222Rrd??多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正

3、四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A.B.C.D.16?20?24?32?解設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得.xR2416x?2x?∴.∴這個(gè)球的表面積是.選C.2222224266RR??????2424R???小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.補(bǔ)形法例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.3解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴

4、把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.3設(shè)其外接球的半徑為，則有.∴.R????????222223339R????294R?故其外接球的表面積.249SR????小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就abc、、可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的由平面知識得)031(，，?C設(shè)球心坐標(biāo)為則由空間兩點(diǎn)間距離公式知)(zyxODOC

5、OBOAO???222222)2(zyxzyx??????222222)2(??????zyxzyx222222)3()1(zyxzyx???????解得1331???zyx所以半徑為3211331222????）（R【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式：221221221)()()(zzyyxxPQ??????四面體是正四面體四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長為時(shí)，它的外接球半徑為。