常微分方程考研講義第五章線性微分方程組

1、第五章 線性微分方程組[教學(xué)目標(biāo)] 1. 理解線性微分方程組解的存在唯一性定理，掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，2. 理解 n 階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系。3. 掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法，4. 理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基解矩陣的方法。5. 掌握常系數(shù)線性微分方程組的 Laplce 變換法。[教學(xué)中難點]求解常系數(shù)非齊次線性微分方程組[教學(xué)方法] 講授，實踐。[教學(xué)時間

2、] 16 學(xué)時[教學(xué)內(nèi)容] n 階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系，一階線性微分方程組解的存在唯一性定理；齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，求解非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法；常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣及求基解矩陣的方法；求常系數(shù)線性微分方程組的 Laplce 變換法。[考核目標(biāo)] 1.線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。2.能夠求解常系數(shù)線性微分方程組。§5.1 存在唯一性定理5.1.1 記號和定義考察形如在

3、區(qū)間 上稱為可微的，如果它的每一個元素都在區(qū)間 上可微。它們 a t b ? ? a t b ? ?的導(dǎo)數(shù)分別由下式給出：11 12 121 22 21 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnn n nnb t b t b tb t b t b t B tb t b t b t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??12( )(

4、) ( )( ) nu tu t u tu t? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??不難證明，如果 矩陣 ， 及 維向量 ， 是可微的，那么下列 n n ? ( ) A t ( ) B t n ( ) u t ( ) v t等式成立：（Ⅰ）? ? ( ) ( ) ( ) ( ) A t B t A t B t ? ? ? ? ? ?? ? ( ) ( ) ( ) ( ) u t v t u t v t ? ?

5、? ? ? ?（Ⅱ）? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A t B t A t B t A t B t ? ? ? ? ? ?（Ⅲ）? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A t u t A t u t A t u t ? ? ? ? ?類似地，矩陣 或者向量 在區(qū)間 上稱為可積的，如果它的每一個 ( ) B t ( ) u t a t b ? ?元素都在區(qū)間 上可積。它們的積分分別由下式給出： a

6、t b ? ?11 12 111 22 211 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b b bn a a ab b bb n a a aab b bn nn a a ab t dt b t dt b t dtb t dt b t dt b t dt B t dtb t dt b t dt b t dt? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ??

7、?? ? ? ??12( )( ) ( )( )babbaabn au t dtu t dt u t dtu t dt? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ??? ???現(xiàn)在我們給出（5.4）的解的定義：定義１設(shè) 是區(qū)間 上的連續(xù) 矩陣， 是同一區(qū)間 上的 ( ) A t a t b ? ? n n ? ( ) f t a t b ? ?連續(xù) 維向量。方程組 n（5.4） ( ) ( ) x A t x f t ?