分數(shù)階微積分理論及其在生物組織傳熱中的某些應(yīng)用.pdf

1、本論文主要研究了分數(shù)階微積分理論及其在生物組織傳熱中的某些應(yīng)用.由彼此相關(guān)又相互獨立的三章組成:
　　 第一章主要是簡明扼要的介紹了分數(shù)階微積分理論的發(fā)展歷史、定義和應(yīng)用，并且文中用到的特殊函數(shù)的定義、性質(zhì)和積分變換在第一章也作了相應(yīng)的說明;
　　 第二章研究了復(fù)雜人體組織傳熱的時間分數(shù)階模型的構(gòu)造，方程解析解的求解和一些特殊情況的分析;
　　 第三章則研究了血管生成前期腫瘤細胞周圍組織生物傳熱模型的建立，給出了

2、方程的求解并討論了一些特殊的情形.
　　 第一章是預(yù)備知識，簡要介紹了本論文所需要的數(shù)學(xué)工具和方法，是以后各章的基礎(chǔ).在§1.1節(jié)中，簡明介紹了分數(shù)階微積分的歷史、發(fā)展、概念和幾個常用的分數(shù)階算子，其中有Riemann-Liouville(R-L)型和Caputo型分數(shù)階微積分算子的定義和常用的基本性質(zhì).在§1.2節(jié)中，介紹了本文用到的特殊函數(shù)，Mittag-Leffler函數(shù)的定義和重要公式.在§1.3節(jié)中，介紹了本文用到的積

3、分變換，包括了有限Fourier正弦變換和分數(shù)階微積分的拉普拉斯變換及其逆變換，它們的定義和重要公式在本節(jié)都作了相應(yīng)的說明.§1.4節(jié)則簡要概述了分數(shù)階微積分理論在其他多個領(lǐng)域的應(yīng)用.
　　 在第二章中，我們將分數(shù)階微積分應(yīng)用到經(jīng)典Pennes生物傳熱問題，研究了復(fù)雜人體組織傳熱的時間分數(shù)階模型.在§2.1節(jié)中，介紹了目前人體傳熱的研究，解釋了復(fù)雜人體組織以及分數(shù)階方程在復(fù)雜人體組織研究中的優(yōu)勢.在§2.2節(jié)中，我們建立了人體皮

4、膚組織的分數(shù)階傳熱方程k(e)2T/(e)x2=pcC0 D(n)tT+WbCbC0 D(a)t-1(T-Ta)，（0＜α≤1,0≤x≤L,t＞0）.(1)應(yīng)用有限Fourier正弦變換和拉普拉斯變換及其相應(yīng)的逆變換，得到了以廣義Mittag-Leffler函數(shù)表示的上述問題的解析解T=Tα+2/L∞∑n=1∞∑m=0{1/m!Amtm[(0)(n,0）E(m)α,1+m-mα（-kn2π2/ρcL2tα）(2)+BtαE(m)α,α+

5、1+m-mα（-kn2π2/ρcL2tα）]}sinn.πx/L.在§2.3節(jié)中，我們討論了當(dāng)α→0和α=1時解的情況.當(dāng)α→0時，得到溫度表達式為T=Tα+2/L∞∑n=1∞∑m=0∞∑j=0{1/m!Amtm[(0)(n，0)+B]Cjj+m（-kn2π2/ρcL2）j}sinnπx/L.當(dāng)α=1時，得到的溫度表達式為T=Tα+∞∑n=1{(0)(n,0)exp(At-kn2π/ρcL2t)(4)+B∞∑m=0∞∑j=0 Amtm+

6、1/j!m!(j+m+1）(+kn2π2/ρcL2t)j}sinnπx/L.尤其在α=1時，我們更進一步證明了沒有血液灌注項及Tα=Tb的情況下，本章的解與已有的整數(shù)階的解是一致的.我們還通過數(shù)值作圖的方法，展示了不同α值下，溫度隨時間的變換情況，并進行了相應(yīng)的分析.§2.4中給出了本章的結(jié)論.
　　 第三章，我們在第二章的基礎(chǔ)上，研究了血管前期腫瘤細胞周圍組織傳熱的時間分數(shù)階模型§3.1中，簡要介紹了當(dāng)前關(guān)于生物醫(yī)學(xué)和腫瘤細胞

7、傳熱研究的現(xiàn)狀;§3.2中，我們建立了該問題的時間分數(shù)階模型k(e)2T/(e)x2=pcC0DT.(0＜α≤1，a≤x≤ b,t＞0).(5)a我們通過積分變換的方法得到了該問題的解析解∞T=正+n弓g高芒筍[既（-λ：tα）萬(λn，0)+tα既，α+1（-λ：tα）A(λn)].(6)n=1在§3.3中，我們對α→0和α=1的情況進行了計算.當(dāng)α→0時，溫度表達式為∞妒（λn,x）1T=乃+再[萬(λn，0)+A(λn)].(7)