分?jǐn)?shù)階微積分及其在黏彈性材料與核磁共振中的某些應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究分?jǐn)?shù)階微積分及其在黏彈性材料與核磁共振中的某些應(yīng)用，由彼此相關(guān)又相互獨(dú)立的四章構(gòu)成.第一章為引言，簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分理論、某些特殊函數(shù)以及分?jǐn)?shù)階算子在各種復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用.§1.1節(jié)簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史及其在當(dāng)前各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，給出了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子t0D-βt、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分算子t0Dαt與Caputo分?jǐn)?shù)階算子Ct0Dαt的定義及其主要性質(zhì)以

2、及Riemann-Liouville與Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換.§1.2節(jié)簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用中常用的兩類特殊函數(shù):Mittag-Leffler函數(shù)與FoxH函數(shù).Mittag-Leffler函數(shù)包括以下四種類型:單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)Eα(z)、雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)Eα，β(z)、廣義Mittag-Leffler函數(shù)Eγα,β(z)與四參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)E

3、γ,qα,β(z);而FoxH函數(shù)為非常重要的一類函數(shù)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)中出現(xiàn)的幾乎所有的函數(shù)，都可作為H函數(shù)的特例，即使象Mittag-Leffler函數(shù)、MeijerG函數(shù)、廣義超幾何函數(shù)與Wright廣義Bessel函數(shù)這樣復(fù)雜的函數(shù)，也都包括在H函數(shù)中.該節(jié)還介紹了FoxH函數(shù)的一些性質(zhì)、級(jí)數(shù)表達(dá)式及其特例.FoxH函數(shù)是研究分?jǐn)?shù)階微積分的有力工具.§1.3節(jié)簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階算子在非Newton流體力學(xué)、生物物理和生物力學(xué)與反

4、常擴(kuò)散及隨機(jī)游走理論等復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用.本章是以后各章的基礎(chǔ).
　　 第二章討論應(yīng)力與應(yīng)變的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階不相同的分?jǐn)?shù)階5參數(shù)廣義Zener模型.§2.1節(jié)為引言，介紹了Zener模型的物理背景及4參數(shù)分?jǐn)?shù)階Zener模型.§2.2節(jié)引入分?jǐn)?shù)階5參數(shù)廣義Zener模型σ+aσ(α)=Eε+Ebε(β),(0.0.1)在隨后的兩節(jié)里討論了該模型的應(yīng)力松弛及應(yīng)變?nèi)渥?運(yùn)用離散求Laplace逆變換技術(shù)，得到了應(yīng)力松弛及應(yīng)變?nèi)渥兊慕馕霰?/p>

5、達(dá)式σ(t)=Eε0-Eε0Eα(-a-1tα)-Ebε0t-βEα，1-β（-a-1tα）+Ebε0t-β/Γ(1-β)(0.0.2)及ε(t)=σ0/E-σ0/EEβ(-b-1tβ)+aσ0/Et-α/Γ(1-α）-aσ0/Et-αEβ，1-α（-b-1tβ）.(0.0.3)分?jǐn)?shù)階4參數(shù)Zener模型為分?jǐn)?shù)階5參數(shù)廣義Zener模型的特例.在這兩節(jié)中，還分別將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與得到的松弛與蠕變表達(dá)式進(jìn)行擬合.與4參數(shù)廣義Zener模型相比，

6、該解與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更好地吻合.值得注意的是，通常松弛與蠕變?cè)囼?yàn)只能單獨(dú)進(jìn)行，尚無證據(jù)表明二者存在必然聯(lián)系.本文擬合的最佳結(jié)果表明，β，α，b，a在上述二擬合中取相同值.這印證了本文模型的有效性.本文還討論了該模型頻率域上的性態(tài)，得到損耗正切的極限由應(yīng)變與應(yīng)力求導(dǎo)階數(shù)的差確定:limω→∞tanδ=tan（π/2（β-α））(0.0.4)這也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.
　　 第三章討論了一類具有記憶的固體材料模型σ+aσ(α)+bσ(2α)=E

7、(ε+cε(β)+dε（2β)）(0.0.5)運(yùn)用Laplace變換方法，得到了松弛與蠕變的表達(dá)式σ(t)=Eε0/b∞∑k=0(-1)kb-k1/k!t2(k+1)α.H1,11,2[a/btα|(-k,1)(0,1),[-2(k+1)α,α]]+cEε0/b∞∑k=0(-1)kb-k1/k!t2（k+1）α-β.H1,11,2[a/btα|(-k,1)(0,1),[β-2(k+1)α,α]](0.0.6)+dEε0/b∞∑k=0（-

8、1）kb-k1/k!t2（k+1）α-2β.H1,11,2[a/btα|(-k,1)(0,1),[2β-2(k+1)α,α]]與ε(t)=σ0/Ed∞∑k=0（-1）kd-k1/k!t2(k+1)βH1,11,2[c/dtβ|(-k,1)(0,1),[-2(k+1)β,β]]+aσ0/Ed∞∑k=0（-1）kd-k1/k!t2(k+1)β-αH1,11,2[c/dtβ|(-k,1)(0,1),[α-2(k+1)β,β]](0.0.7)+

9、bσ0/ED∞∑k=0（-1）kd-k1/k!t2(k+1)β-2αH1,11,2[c/dtβ|(-k,1)(0,1),[2α-2(k+1)β,β]].
　　 擬合結(jié)果顯示，α=0.2685，β=0.2710，a=0.130，b=0.900,c=0.187,d=1.000使實(shí)驗(yàn)結(jié)果同時(shí)達(dá)到與松弛與蠕變的擬合.通常松弛與蠕變?cè)囼?yàn)只能單獨(dú)進(jìn)行，尚無證據(jù)表明二者存在必然聯(lián)系[112].本文擬合的最佳結(jié)果表明，α，β，a，b，c與d在上

10、述二擬合中取相同值.這印證了本文模型的有效性.在頻率域內(nèi)，高頻率時(shí)高分子阻尼材料的損耗因子的理論結(jié)果由應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)階的差決定:limω→∞tanδ=limω→∞Gl/Gd=tanπ（β-α）.(0.0.8)這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.
　　 第四章討論了具有三個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)參數(shù)的Bloch方程組C0DαtMz(t)=M0-Mz(t)/T'1(0.0.9)C0DβtMx(t)=ω1My(t)-Mx(t)/T'2(0.0.10)C0D

11、γMy(t)=-ω2Mx(t)-My(t)/T'2.(0.0.11)利用Laplace變換技術(shù)，得到了該方程組的解析解（β≥γ時(shí)的表達(dá)式，β≤γ時(shí)的表達(dá)式與此類似，詳見第四章）Mz(t)=Mz(0)Eα(-1/T'1tα)+M0/T'1tαEα，α+1(-1/T'1tα)，(0.0.12)Mx(t)=ω1My(0)∞∑n=0n∑k=01/k!(n-k)!(1/T'2T'3+ω1ω2)n-kT'n3/T'2kt(n+1)β-kγ.H1,2

12、2,3[tγ/T'3|(0,1),(0,1)(0,1),(kγ-(n+1)β,γ)(n,1)]+Mx(0)∞∑n=0∞∑k=01/k!(n-k)!(1/T'2T'3+ω1ω2)n-kT'n3/T'2ktnβ-kγ(0.0.13).H1,22,3[tγ/T'3|(0,1),(0,1)(0,1),(kγ-(n+1)β,γ)(n,1)]+Mx(0)/T'2∞∑n=0n∑k=01/k!(n-k)!(1/T'2T'3+ω1ω2)n-kT'n3/T

13、'2ktnβ+(1-k)γ.H1,22,3[tγ/T'3|(0,1),(0,1)(0,1),((k-1)γ-nβ,γ)(n,1)],My(t)=My(0)Eγ(-tγ/T'3)+ω1ω2My(0)∞Σn=0nΣk=01/k!(n-k)!(1/T'2T'3+ω1ω2)n-kT'n+1/T'k21/n+1t(n+1)β-kγ.H1,22,3[tγ/T'3|(0,1),(0,1)(0,1),(kγ-(n+1)β,γ)(n+1,1)]+ω2Mx

14、(0)∞∑n=0n∑k=01/k!(n-k)!(1/T'2T'3+ω1ω2)n-kT'n/T'k21/n+1tnβ-kγ(0.0.14).H1,22,3[tγ/T'3|(0,1),(0,1)(0,1),(kγ-nβ,γ)(n+1,1)]＋ω2Mx(0)/T'3∞∑n=1n∑k=01/k!(n-k)!(1/T'2T'3+ω1ω2)n-kT'3n+1/T'k21/n+1tnβ+(1-k)γ+ω2Mx(0)/T'3∞∑n=1∞∑k=01/k!