分?jǐn)?shù)階微積分及其在分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究分?jǐn)?shù)階微積分及其在分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中的應(yīng)用，共由四章組成：第一章簡要介紹分?jǐn)?shù)階微分及其應(yīng)用，以及文中將用到的一些基本知識(shí)；第二章和第三章研究由空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程所描述的空間分?jǐn)?shù)階量子體系；在最后一章中，我們給出由時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程所描述的時(shí)空分?jǐn)?shù)階量子體系的一些特性. 第一章首先介紹分?jǐn)?shù)階微積分的歷史及其發(fā)展情況，然后給出幾種常用的以及本文中會(huì)用到的分?jǐn)?shù)階算子，例如：Riemann-Liouville（簡稱R-L）

2、，Caputo和Riesz分?jǐn)?shù)階算子。此外，對(duì)兩類特殊函數(shù)和它們的基本性質(zhì)也進(jìn)行了敘述，這些特殊函數(shù)常常是很多分?jǐn)?shù)階微分方程的基本解.這兩類特殊函數(shù)分別是Mittag-Leffler型函數(shù)（包括Mittag-Leffler函數(shù)、包含兩參數(shù)、三參數(shù)以及四參數(shù)的廣義Mittag-Leffler函數(shù)），還有Fox H-函數(shù)。應(yīng)用數(shù)學(xué)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾乎所有特殊函數(shù)，例如：Mittag-Leffler型函數(shù)、廣義超幾何函數(shù)、廣義貝塞爾函數(shù)、Mei

3、jer的G函數(shù)等等，都是Fox H-函數(shù)的參數(shù)取特殊值時(shí)的表達(dá)式。在本章的最后一節(jié)中，我們較詳細(xì)的介紹了分?jǐn)?shù)階微積分在當(dāng)前非線性科學(xué)中復(fù)雜系統(tǒng)的各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用. 第二章主要研究線性勢(shì)場(chǎng)、δ勢(shì)阱以及Coulomb勢(shì)場(chǎng)中粒子所滿足的一維空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程.借助于傅立葉變換，我們給出動(dòng)量表象下的空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程.再利用Mellin變換及其逆變換，得出粒子在線性勢(shì)場(chǎng)中的波函數(shù)及其能級(jí)。粒子波函數(shù)由H函數(shù)表示，利用H函數(shù)的零點(diǎn)，可

4、以計(jì)算粒子的能級(jí)。δ勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)同樣由H函數(shù)表示.我們發(fā)現(xiàn)同整數(shù)階量子力學(xué)情形類似，δ勢(shì)阱中只對(duì)偶宇稱態(tài)的粒子起作用且粒子只有一個(gè)能級(jí)，奇宇稱態(tài)的粒子不受該勢(shì)阱作用，仍然像自由粒子一樣運(yùn)動(dòng)。研究粒子在Coulomb勢(shì)場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出了粒子波函數(shù)的積分形式，并且證明了Laskin的文獻(xiàn)[Phys.Rev.E66，056108（2002）]中給出的粒子能級(jí)滿足一個(gè)關(guān)于H函數(shù)的無窮極限的等式.本章的所有結(jié)果都包含標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)中的情形作為

5、特殊情況. 更進(jìn)一步，利用量綱分析法，我們給出分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)的一個(gè)未定參數(shù)Dα的一種具體數(shù)學(xué)表達(dá)式.隨后，畫出兩幅圖像來展示α（1<α≤2）的變化對(duì)線性勢(shì)以及δ勢(shì)阱中的粒子波函數(shù)的影響.這里α是空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的階數(shù)，也代表Levy類量子力學(xué)路徑的分形維數(shù)。通過觀察這些圖像，我們發(fā)現(xiàn)α越小，線性勢(shì)下粒子的波函數(shù)振蕩越快，其振幅越大周期越短，而δ勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)衰減越快. 在第三章中，通過研究空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程，可

6、得出一個(gè)結(jié)論：在求解分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程時(shí)，應(yīng)該考慮波函數(shù)的一種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性或者間斷性條件，這如同在標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)中考慮波函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性或者間斷性條件來求解標(biāo)準(zhǔn)薛定諤方程.這種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為να=（-h2△）α/2-1▽.如果勢(shì)函數(shù)在任何固定區(qū)域內(nèi)取有限值，則ναφ（x）（φ（x）表示波函數(shù)）處處連續(xù)；如果勢(shì)函數(shù)在某些點(diǎn)為無窮，則只要波函數(shù)在這些點(diǎn)的一個(gè)小鄰域內(nèi)非零ναφ（x）就在這些點(diǎn)處間斷.由此結(jié)論出發(fā)

7、，我們研究了有限方形勢(shì)場(chǎng)，周期性勢(shì)場(chǎng)以及δ勢(shì)中粒子滿足的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程. 在標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)中，研究有限方形勢(shì)場(chǎng)時(shí)，僅能分別得到一種奇宇稱態(tài)和偶宇稱態(tài)波函數(shù)。但在分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中，我們分別得到兩種類型的奇偶宇稱態(tài).這些波函數(shù)的疊加又可以構(gòu)造更多的具有奇偶宇稱的波函數(shù)。與這些波函數(shù)相應(yīng)的能量方程也被導(dǎo)出，并利用圖解法進(jìn)行求解. 我們驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中有關(guān)周期勢(shì)場(chǎng)的Bloch定理的正確性，其與整數(shù)階量子力學(xué)中的Bloch定

8、理具有相同的形式，并證明出分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中周期勢(shì)場(chǎng)中粒子能級(jí)也具有“能帶結(jié)構(gòu)”.在研究“能帶結(jié)構(gòu)”時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)周期勢(shì)場(chǎng)下的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程具有不止一個(gè)相互線性無關(guān)的實(shí)根時(shí)，波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。 我們給出δ勢(shì)中粒子波函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)需滿足的跳躍（間斷性）條件.借助于此條件，研究了幾種δ勢(shì)場(chǎng)。對(duì)δ勢(shì)阱的研究得到粒子波函數(shù)的另外一種以初等函數(shù)表述的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式比第二章給出的H函數(shù)形式的表達(dá)式更實(shí)用更有效.我們還研究了粒子貫

9、穿δ勢(shì)壘以及分?jǐn)?shù)階概率流密度的問題并得出結(jié)論：盡管ναφ（x）在原點(diǎn)處間斷，概率流密度函數(shù)仍然處處連續(xù).在本章最后，我們研究了Dirac梳，并在圖3.3中展示了粒子能量的能帶結(jié)構(gòu)，觀察圖形可知參數(shù)α對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響：α愈大，各個(gè)能帶愈窄. 第四章基于Laskin的空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程建立了一種包含時(shí)間Caputo導(dǎo)數(shù)和空間Riesz量子分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程。這個(gè)新的時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程為 本章我們用這個(gè)新方程研究了

10、與時(shí)間無關(guān)的勢(shì)場(chǎng)下時(shí)空分?jǐn)?shù)階量子體系中的時(shí)間演化規(guī)律，分別就時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在0到1之間以及1到2之間兩種情況進(jìn)行了討論。對(duì)這個(gè)時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程進(jìn)行變量分離得到一個(gè)空間方程和一個(gè)時(shí)間方程，再分別求解這兩個(gè)方程可得原方程的通解，該個(gè)通解由一些振蕩項(xiàng)和一些衰減項(xiàng)組成. 利用分?jǐn)?shù)階算子的性質(zhì)，我們研究了時(shí)空分?jǐn)?shù)階量子體系中的非馬爾可夫時(shí)間演化規(guī)律：導(dǎo)出了力學(xué)量的時(shí)間演化公式，并證明了時(shí)空分?jǐn)?shù)階量子體系中不存在守恒量，還給出了一種Mi

11、ttag-Leffer型的波函數(shù)時(shí)間演化算子，然后建立了包含分?jǐn)?shù)階算子的Heisenberg方程.所有這些結(jié)果都是標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)的推廣. 在分析當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)粒子總概率和能級(jí)的極限時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些極限值不僅與時(shí)間導(dǎo)數(shù)的階數(shù)有關(guān)，還與空間方程的本征值的符號(hào)（正或者負(fù)）有關(guān).當(dāng)空間方程的本征值為正數(shù)時(shí)，總概率和能級(jí)的具有有限的極限值，而且總概率極限值可能大于或者小于1，這表明，由時(shí)空分?jǐn)?shù)階薛定諤方程描述的量子體系中概率不守恒，勢(shì)場(chǎng)可能釋

12、放或者吸收粒子，但這種釋放或者吸收的行為越來越弱，以至整個(gè)量子系統(tǒng)最終能達(dá)到一些具有非零總概率和非零能級(jí)的穩(wěn)定狀態(tài).進(jìn)一步研究表明，當(dāng)0<β<1（β表示時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)）時(shí)，總概率的時(shí)間極限必為非零有限值，而當(dāng)1<β<2時(shí)在某些特殊情況下（可參考本文第60頁§4.4中的一些結(jié)論）可能為零.因此，當(dāng)空間方程的本征值為正，只有1<β<2時(shí)，時(shí)空分?jǐn)?shù)階量子體系中的粒子才有可能完全被勢(shì)場(chǎng)吸收.當(dāng)空間方程的本征值為負(fù)數(shù)時(shí)，若0<β<1則總概率