分?jǐn)?shù)階微積分理論在粘彈性流體力學(xué)及量子力學(xué)中的某些應(yīng)用.pdf

1、本論文由彼此相關(guān)而又獨(dú)立的五章所組成．第一章為序言，簡(jiǎn)要介紹了本文所需的數(shù)學(xué)工具，也即分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念、發(fā)展歷史及應(yīng)用．在§1．1節(jié)和§1．2節(jié)中，簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史及其最近的應(yīng)用，給出了Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分算子<,0>D<'-α><'t>(0< (α)<1)、微分算子<,0>D<'β><,t>(0< (β)<1)和局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)D<'q>f(y)的定義及主要性質(zhì)，并討論了分?jǐn)?shù)階積分和微分算

2、子的Laplace變換．在§1．3節(jié)中，給出了廣義Mittag-Leffler函數(shù)E<,α,β>(z)的定義及其某些重要公式．在§1.4節(jié)中，給出H-Fox函數(shù)的定義、級(jí)數(shù)表達(dá)式、漸近性態(tài)及其基本性質(zhì)，并討論了H-Fox函數(shù)的特例，如廣義Mittag-Leffier函數(shù)E<,α,β>(z)和H<'1,1><,1,2>(z)，F(xiàn)ox-H函數(shù)是求解分?jǐn)?shù)階微分方程的有力工具．在最后一節(jié)，簡(jiǎn)要闡述了分?jǐn)?shù)階微積分理論在與本文內(nèi)容相關(guān)的幾個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的

3、研究進(jìn)展．本章是以后各章的基礎(chǔ)． 在第二章研究了分?jǐn)?shù)階廣義Maxwell流體在環(huán)管內(nèi)旋轉(zhuǎn)非定常Couette流動(dòng)模型．首先將標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)階Maxwell流體模型推廣至如下的分?jǐn)?shù)階形式;T-+K<'α><'0>D<'α><,t>T=υγ 然后應(yīng)用積分變換，主要是Laplace變換和Weber變換，以及離散求逆Laplace變換技巧，求得該運(yùn)動(dòng)模型的精確解： 其中A(λ<,i>，t)如下所示通過(guò)數(shù)值作圖，結(jié)合解的形態(tài)討

4、論，我們分析了Maxwell模型的解的構(gòu)造，討論了流場(chǎng)中速度分布的特點(diǎn)及其緣由.本章所得結(jié)論與已有文獻(xiàn)一致. 第三章研究了廣義Maxwell流體和廣義二階流體在環(huán)管內(nèi)的軸向非定常Couette流動(dòng)問(wèn)題.在§3.2節(jié)，導(dǎo)出了運(yùn)動(dòng)的本構(gòu)方程組及初邊條件.在§3.3節(jié)中，我們求得了廣義二階流體和廣義Maxwell流體在環(huán)管內(nèi)軸向非定常Couette流動(dòng)的精確解，在§3.4中，對(duì)一種更為一般的運(yùn)動(dòng)模型做了分析.假設(shè)內(nèi)管的運(yùn)動(dòng)速度不是常數(shù)，

5、而是一個(gè)函數(shù)，f(t)=kt，在§3.5節(jié)中，通過(guò)數(shù)值模擬，分析了分?jǐn)?shù)階參數(shù)對(duì)模型及流場(chǎng)中速度分布的影響，并指出在廣義Maxwell流體軸向非定常Couette流動(dòng)的流場(chǎng)速度分布中有振蕩存在． 在第四章，研究了廣義時(shí)空分?jǐn)?shù)階SchrSdinger方程，并對(duì)它的某些應(yīng)用做了研究．首先，在§4.1節(jié)中給出了廣義時(shí)空分?jǐn)?shù)階SchrSdinger的表達(dá)式，然后對(duì)自由粒子和方勢(shì)阱這兩個(gè)經(jīng)典量子力學(xué)中的典型例子做了求解，并將解用廣義Mitt

6、ag-Leffier函數(shù)表示出來(lái)，借助于Mellin變換以及其他積分變換工具，我們求得了廣義時(shí)空分?jǐn)?shù)階SchrSdinger方程對(duì)自由粒子的Green函數(shù)，在本章最后一節(jié)，我們將本章中研究的例子與經(jīng)典量子力學(xué)中的例子做了比較，并指出二者之間的關(guān)系． 在第五章中，我們借助于Dirac符號(hào)，發(fā)展了一種求解分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和分?jǐn)?shù)階SchrSdinger方程的新方法，并做了幾個(gè)例子的求解．在§5.2節(jié)中，用算子的方法求得了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的