分數階微積分理論在粘彈性流體力學及量子力學中的某些應用.pdf

1、本論文由彼此相關而又獨立的五章所組成．第一章為序言，簡要介紹了本文所需的數學工具，也即分數階微積分的基本概念、發(fā)展歷史及應用．在§1．1節(jié)和§1．2節(jié)中，簡要介紹了分數階微積分的發(fā)展歷史及其最近的應用，給出了Riemann-Liouville型分數階積分算子<,0>D<'-α><'t>(0< (α)<1)、微分算子<,0>D<'β><,t>(0< (β)<1)和局部分數階導數D<'q>f(y)的定義及主要性質，并討論了分數階積分和微分算

2、子的Laplace變換．在§1．3節(jié)中，給出了廣義Mittag-Leffler函數E<,α,β>(z)的定義及其某些重要公式．在§1.4節(jié)中，給出H-Fox函數的定義、級數表達式、漸近性態(tài)及其基本性質，并討論了H-Fox函數的特例，如廣義Mittag-Leffier函數E<,α,β>(z)和H<'1,1><,1,2>(z)，F(xiàn)ox-H函數是求解分數階微分方程的有力工具．在最后一節(jié)，簡要闡述了分數階微積分理論在與本文內容相關的幾個領域內的

3、研究進展．本章是以后各章的基礎． 在第二章研究了分數階廣義Maxwell流體在環(huán)管內旋轉非定常Couette流動模型．首先將標準的整數階Maxwell流體模型推廣至如下的分數階形式;T-+K<'α><'0>D<'α><,t>T=υγ 然后應用積分變換，主要是Laplace變換和Weber變換，以及離散求逆Laplace變換技巧，求得該運動模型的精確解： 其中A(λ<,i>，t)如下所示通過數值作圖，結合解的形態(tài)討

4、論，我們分析了Maxwell模型的解的構造，討論了流場中速度分布的特點及其緣由.本章所得結論與已有文獻一致. 第三章研究了廣義Maxwell流體和廣義二階流體在環(huán)管內的軸向非定常Couette流動問題.在§3.2節(jié)，導出了運動的本構方程組及初邊條件.在§3.3節(jié)中，我們求得了廣義二階流體和廣義Maxwell流體在環(huán)管內軸向非定常Couette流動的精確解，在§3.4中，對一種更為一般的運動模型做了分析.假設內管的運動速度不是常數，

5、而是一個函數，f(t)=kt，在§3.5節(jié)中，通過數值模擬，分析了分數階參數對模型及流場中速度分布的影響，并指出在廣義Maxwell流體軸向非定常Couette流動的流場速度分布中有振蕩存在． 在第四章，研究了廣義時空分數階SchrSdinger方程，并對它的某些應用做了研究．首先，在§4.1節(jié)中給出了廣義時空分數階SchrSdinger的表達式，然后對自由粒子和方勢阱這兩個經典量子力學中的典型例子做了求解，并將解用廣義Mitt

6、ag-Leffier函數表示出來，借助于Mellin變換以及其他積分變換工具，我們求得了廣義時空分數階SchrSdinger方程對自由粒子的Green函數，在本章最后一節(jié)，我們將本章中研究的例子與經典量子力學中的例子做了比較，并指出二者之間的關系． 在第五章中，我們借助于Dirac符號，發(fā)展了一種求解分數階擴散方程和分數階SchrSdinger方程的新方法，并做了幾個例子的求解．在§5.2節(jié)中，用算子的方法求得了分數階擴散方程的