運(yùn)用起泡法求解強(qiáng)對(duì)流擴(kuò)散問題的收斂性分析.pdf

1、我們知道，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin方法求解方程-ε△u+a·▽u=f，當(dāng)ε《h·|a|時(shí)，所得到的近似解將出現(xiàn)振蕩。為得到穩(wěn)定的解，除了FEM、SUPG等方法外，近年來又出現(xiàn)了起泡法。同樣的，為得到拋物方程ut-ε△u+a·▽u=∫當(dāng)ε《h·|a|時(shí)的近似解，本文運(yùn)用起泡法的思想對(duì)其空間離散，而在時(shí)間上運(yùn)用常見的Euler-Galerkin向后差分法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了對(duì)耦合方法的先驗(yàn)估計(jì)，并在文末說明了將此方法進(jìn)一步拓展的可能性。

2、 全文共分四章. 第一章通過蘊(yùn)育起泡法產(chǎn)生的多尺度問題： {Lu=-ε△u+a·▽u=finΩu=0onaΩ. 引入了起泡法的概念，并進(jìn)一步闡明其指導(dǎo)思想.給出了部分后文證明中需要用到的方程與函數(shù)，同時(shí)敘述了起泡法的發(fā)展概況及本文的進(jìn)展. 本章共分二節(jié). 第一節(jié)在方程Lu=finΩu=0on()Ω. (1.1.1)的基礎(chǔ)上，說明了由于假設(shè)ε《|a|·diamΩ，(1.1.1)實(shí)際上是一

3、個(gè)多尺度問題.指出若用標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin方法求解，將會(huì)發(fā)現(xiàn)因邊界層引發(fā)的近似解波動(dòng)將會(huì)影響到整個(gè)區(qū)域Ω，而原方程的精確解并不存在這種波動(dòng). 進(jìn)而給出作為解決方案的起泡法，其思想是通過在每個(gè)小剖分單元T上引入，T內(nèi)非0，()T和T外衡為0的泡函數(shù)，從而解空間擴(kuò)展為：Vh=VL+VN(1.1.3) 這樣，(1.1.1)的離散問題可以表示為：{finduh=uL+uB，s.t.ε∫Ω▽uh▽vhdx+∫Ω(a·▽uh)vh

4、dx=∫Ωfvhdx(A)vh∈Vh. (1.1.4)并指出由于泡函數(shù)的特殊性，可通過推導(dǎo)，將離散問題轉(zhuǎn)化為：{finduB∈VB，s.t.ε∫T▽uB·▽vTBdx+∫T(a·▽uB)vTBdx=(f-a·▽uL)|T∫TuTBdx(A)TB∈VB. (1.1.6)轉(zhuǎn)而通過求解滿足： {-ε△bT1+a·▽bT1=1inT,bT1=0else. (1.1.7)的解bT1∈VB便可節(jié)省運(yùn)算量. 第

5、二節(jié)介紹了起泡法的發(fā)展現(xiàn)狀，并指出在前人對(duì)橢圓問題研究的基礎(chǔ)上，本文主要的工作是將起泡法推廣到拋物問題中，并對(duì)此推廣給予誤差的先驗(yàn)估計(jì). 第二章在提出所要研究拋物問題的基礎(chǔ)上，給予必要的符號(hào)說明，及其離散方程. 本章共分兩節(jié). 第一節(jié)給出所要研究的拋物方程： {ut-ε△u+a·▽u=f，x∈Ωt∈[0，TE]，u(x.t)=0，x∈()Ωt∈[0,TE]，u(x,0)=v，x∈Ω. (2.1.1

6、)及其參數(shù)含義，并給出了下文中經(jīng)常出現(xiàn)的符號(hào)定義. 值得一提的是，由于起泡法的解空間不同于一般的P1元，不妨給出定義1擬橢圓投影PB： (▽PBu，▽x)=(▽u，▽x)()X∈Vh. 以示區(qū)別. 第二節(jié)分別給出了半離散方程： {N∑j=1α′h(t)(φj，φk)+n∑j=1αj(t)(ε▽?duì)誮，▽?duì)誯)+n∑j=1αJ(t)(a·▽?duì)誮，φk)=(f，φk)，k=1，2，…，N+1，αj(0)

7、=γj，j=1，2，…，N+1. (2.2.3)和全離散方程：{NΣj=1αnj-αnj-1/τ(φj,φk)+NΣj=1αnj(ε▽?duì)誮,▽?duì)誯)n=1,2,…，N，+n∑αj=1αnj(a·▽?duì)誮,φk)=(f，φk)，k=1，2，…，N+1，α0j=γj，j=1，2，…，N+1. (2.2.6)并給出了相應(yīng)的矩陣形式：Aα′(t)+(εB+C)α(t)=～ft≥0，α(0)=γ.(2.2.4) (A+τεB

8、+τC)αn=Aαn-1+τ～f(tn).(2.2.7) 第三章通過三個(gè)引理和五個(gè)定理，給出了本文方法的收斂性分析本章共分兩節(jié). 第一節(jié)首先給出了一個(gè)注解由于diva=0，所以有(a·▽vh，vh)=-(vh，a·▽vh)=-(a·▽vh，vh)(→)(a·▽h，vh)=0()vh∈VL. 指出一個(gè)下文中常要用到的技巧.并給出兩個(gè)定義： 定義2對(duì)于剖分單元T內(nèi)任意一點(diǎn)x，若單元邊界-T上點(diǎn)xa滿足：|a·

9、(x-xa)|=‖a‖‖x-xa‖且a·(x-xa)≥0，則稱xa為x的迎風(fēng)前端. 定義3令haT=maxx∈-Ta·(x-xa)/|a|2～hT=1/|T|∫TbT1dxh*T=∫T(bT1)2dx/∫tbT1dx 再以兩個(gè)引理說明其性質(zhì)： 引理1對(duì)于任意取定的ε，對(duì)于每個(gè)剖分T，其內(nèi)任意一點(diǎn)x，與它的迎風(fēng)前端xa間成立如下關(guān)系： 0≤bT1≤a·(x-xa)/|a|2 引理2假設(shè)剖分所得的任意

10、三角形中，最小角的度數(shù)都大于正常值θ0＞0. 則存在不依賴T之選取的正常數(shù)C，滿足關(guān)系： ～hT≥ChT/|a|min{hT|a|/ε,1}. 接著以三個(gè)定理的形式給出橢圓問題的誤差估計(jì)： 定理1假設(shè)uh為(1.1.4)的解，～u，eL的定義分別參見(3.1.10)(3.1.14)，則有如下估計(jì)式： ε1/2||▽e||0.Ω=(ε‖▽eL||20.Ω+∑T～hT||a·▽eL||20.T)1/2

11、.(3.1.16) 定理2假設(shè)uh為(1.1.4)的解，～u，eL，γT的定義分別參見(3.1.10)(3.1.14)(3.1.17)，且假設(shè)精確解u∈Hs(Ω)∩H10(Ω)，則有： ε‖▽e||20,Ω≤C∑TγTh2sT-1|u|2s,T'(3.1.21) ε‖▽eL||20,Ω+∑T～hT||a·▽eL||20,T≤C∑TγTh2s-1T|u|2s.t.(3.1.22) 其中常數(shù)C只依賴于Th中三

12、角形的最小頂角度數(shù)θ0. 定理3假設(shè)uh為(1.1.4)的解，～u，eL，γT的定義分別參見(3.1.10)(3.1.14)(3.1.17)，且假設(shè)精確解u∈Hs(Ω)∩H10(Ω)，則有： ε1/2||▽(u-uh)||0,Ω≤(C∑TγTh2s-1T|u|2s.TT)1/2,(3.1.23) (ε||▽(u-uL)||20,Ω+∑T～hT||a·▽(u-uL)||20,T)1/2≤(C∑γTh2s-1T|u|

13、2s,T)1/2.(3.1.24) 其中常數(shù)C只依賴于Th中三角形的最小頂角度數(shù)θ0. 第二節(jié)為得到對(duì)應(yīng)拋物問題的誤差估計(jì)，首先通過： 引理3假設(shè)u∈Hs(Ω)∩H10(Ω)，其中1≤s≤r，則對(duì)于任意的x∈Vh存在如下關(guān)系： infX∈Vhε1/2{||PEv-X||+hT||▽(PEv--X)||}≤C1(C∑TγTh2s+1T|u|2s,T)1/2≤Chs+1/2T||u||s(3.2.2)

14、 給出一個(gè)適應(yīng)拋物問題先驗(yàn)估計(jì)的，空間Vh相對(duì)于Sobolev空間的逼近關(guān)系.在此基礎(chǔ)上給出了半離散問題的誤差估計(jì)： 定理4假設(shè)un和u分別是(2.2.2)和(2.1.1)的解，則有如下誤差估計(jì)式：‖uh-u(t)‖≤‖vh-u‖+Chr+1/2Tε-1/2{‖v‖+∫t0t‖ut||rds}，t≥0.(3.2.8) 由此最終得到了全離散問題的誤差估計(jì)： 定理5假設(shè)Un和u分別是(2.2.5)和(2.1.1)的解