平均間斷有限元的強超收斂性及其應用.pdf

1、常微分方程(組)的初值問題廣泛出現(xiàn)在科學技術及經(jīng)濟等領域中，它們的數(shù)值求解已有許多好算法，比如差分法和有限元法。近年來，間斷有限元法越來越受到學者們的關注，因為它不僅精度高，而且對解的光滑性要求較低。
　　 本文研究一類具有強超收斂性的平均間斷有限元，主要工作和創(chuàng)新點如下：
　　 (1)對線性及非線性常微分方程初值問題，研究k次平均間斷有限元，當k為偶數(shù)時，首次證明了在節(jié)點上的平均通量Usj=(U-j+U+j)/2(間斷

2、有限元在節(jié)點上的左右極限的平均值)，具有最高階強超收斂性O(h2k+2).這是目前所知的所有有限元法中能得到的最高階超收斂結(jié)果。1981年M.Delfour等數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)了這一點，但是沒有證明，此后一直無人證明。本文的數(shù)值試驗也證實了這個最高階超收斂結(jié)果，并且發(fā)現(xiàn)單元內(nèi)部還有超收斂點。
　　 (2)Hamilton系統(tǒng)是最重要的動力系統(tǒng)之一。Hamilton系統(tǒng)有三個重要性質(zhì)：能量守恒、辛結(jié)構和周期解。對需要作長時間計算的問題，

3、如何構造計算格式保持這些特性是非常重要的。對Hamilton系統(tǒng)，本文首次討論平均間斷有限元的長時間性質(zhì)。數(shù)值試驗表明：平均間斷有限元的軌道偏離隨時間線性增長(馮康猜想成立)，并且能量保持擬守恒(能量偏離不隨時間增長)。
　　 (3)對具有動量守恒的非線性Hamilton系統(tǒng)(如Kepler系統(tǒng)，常微及偏微Schrodinger方程組)，首次發(fā)現(xiàn)平均間斷有限元在節(jié)點上是動量守恒的。以前的連續(xù)有限元具有能量守恒性；其它的間斷有限元