平均間斷有限元的強(qiáng)超收斂性及其應(yīng)用.pdf

1、常微分方程(組)的初值問(wèn)題廣泛出現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)及經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，它們的數(shù)值求解已有許多好算法，比如差分法和有限元法。近年來(lái)，間斷有限元法越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注，因?yàn)樗粌H精度高，而且對(duì)解的光滑性要求較低。
　　 本文研究一類具有強(qiáng)超收斂性的平均間斷有限元，主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)如下：
　　 (1)對(duì)線性及非線性常微分方程初值問(wèn)題，研究k次平均間斷有限元，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，首次證明了在節(jié)點(diǎn)上的平均通量Usj=(U-j+U+j)/2(間斷

2、有限元在節(jié)點(diǎn)上的左右極限的平均值)，具有最高階強(qiáng)超收斂性O(shè)(h2k+2).這是目前所知的所有有限元法中能得到的最高階超收斂結(jié)果。1981年M.Delfour等數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)，但是沒(méi)有證明，此后一直無(wú)人證明。本文的數(shù)值試驗(yàn)也證實(shí)了這個(gè)最高階超收斂結(jié)果，并且發(fā)現(xiàn)單元內(nèi)部還有超收斂點(diǎn)。
　　 (2)Hamilton系統(tǒng)是最重要的動(dòng)力系統(tǒng)之一。Hamilton系統(tǒng)有三個(gè)重要性質(zhì)：能量守恒、辛結(jié)構(gòu)和周期解。對(duì)需要作長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算的問(wèn)題，

3、如何構(gòu)造計(jì)算格式保持這些特性是非常重要的。對(duì)Hamilton系統(tǒng)，本文首次討論平均間斷有限元的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)。數(shù)值試驗(yàn)表明：平均間斷有限元的軌道偏離隨時(shí)間線性增長(zhǎng)(馮康猜想成立)，并且能量保持?jǐn)M守恒(能量偏離不隨時(shí)間增長(zhǎng))。
　　 (3)對(duì)具有動(dòng)量守恒的非線性Hamilton系統(tǒng)(如Kepler系統(tǒng)，常微及偏微Schrodinger方程組)，首次發(fā)現(xiàn)平均間斷有限元在節(jié)點(diǎn)上是動(dòng)量守恒的。以前的連續(xù)有限元具有能量守恒性；其它的間斷有限元