量子力學(xué)第2章-定態(tài)薛定諤方程

1、第二章 定態(tài)薛定鄂方程,（一）定態(tài)Schrödinger方程，定態(tài) （二）能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì) （五）如何由定態(tài)得到一般解,（一）定態(tài)Schrödinger方程，定態(tài),討論有外場情況下的 Schrödinger 方程：,令：,,于是：,V(r)與t無關(guān)時，可以分離變量,,等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù),此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正

2、弦型的，其角頻率ω=2πE/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。,空間波函數(shù)ψ(r)由方程,,和具體的邊界條件所確定。,該方程稱為定態(tài) Schrödinger 方程。,（1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相同。 數(shù)學(xué)物理方

3、法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題；,（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。 因此，在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；Ψ稱為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。,（

4、二）能量本征值方程,（三）求解定態(tài)問題的步驟,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r,t)和在這些態(tài)中的能量 E。其具體步驟如下：,,,（1）列出定態(tài) Schrodinger方程,（2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得：,（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 n 個本征值 En 的定態(tài)波函數(shù),（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù) Cn,（四）定態(tài)的性質(zhì),（2）幾率流密度與時間無關(guān),（1）粒子在空間幾率密度分

5、布與時間無關(guān),,4. 能量本征函數(shù)是完備的正交歸一系 可以證明（以后證明）,（3）處于定態(tài)時力學(xué)量（不顯含時間）的期待值是常數(shù),推論,正交歸一性,薛定鄂方程的通解可以用定態(tài)波函數(shù)的疊加表示為,其中展開系數(shù)由初始條件定,由定態(tài)波函數(shù)的正交歸一性,我們來求處在,能量的期待值,我們在來看,的歸一化,從上面兩個式子可以看出，,具有幾率的概念，當(dāng)對,測量能量時，測到,的幾率是,也可以說體系,是部分地處于,態(tài)，各個態(tài)出現(xiàn)的幾率分別是,需要注

6、意的是，盡管分離解自身是定態(tài)解，,,其幾率和期望值都不依賴時間，,但是一般解并不具備這個性質(zhì)；,因為不同的定態(tài)具有不同的能量，在計算時,含時指數(shù)因子不能相互抵消,2.2一維無限深勢阱,求解 S — 方程 分四步： （1）列出各勢域的一維S—方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù),（1）列出各勢域的 S — 方程,方程可 簡化為：,,,勢V(x)分為三個區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示

7、，其上的波函數(shù)分別為ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。則方程為：,（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解,,從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。,,1。單值，成立； 2。有限：當(dāng)x ? - ∞ ， ψ 有限條件要求 C2=0。,(2) 解方程,3。連續(xù)性:在勢的分界點,由波函數(shù)的連續(xù)性：,,點,,點,,由

8、此得到,,,A和B不能同時為零,否則波函數(shù)處處為零(處處為零的波函數(shù)總是滿足薛定諤方程的),這在物理上是沒有意義的.因此,我們得到兩組解,(1),2.6-8,對第一種情況,我們必須有,對第二種情況,我們必須有,n=0對應(yīng)于波函數(shù)恒為零的解沒有意義, n等于負(fù)整數(shù)時不給出新的解.由(2.6-5,10)體系的能量為,可以看出由無限多個能量值, 它們組成體系的分離能級,每一個能級對應(yīng)一個n, 我們稱n為量子數(shù).,正整數(shù) (2.6

9、-11),(2),2.6-9,2.6-10,我們得到的兩組波函數(shù)解,2.6-12,這兩組解可以合并為一個式子,2.6-14,2.6-13,由歸一化條件,求出,所以一維無限深勢阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)是,利用公式,可以將正弦波寫成指數(shù)函數(shù),由此可知,是由兩個沿相反方向傳播振幅相等的平面波疊加而成的駐波,波函數(shù)在勢阱外時為零,即粒子被束縛在勢阱內(nèi)部.通常把在無限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài),一般來講,束縛態(tài)所屬的能級是分立的.體系能量

10、最低的態(tài)稱為基態(tài),一維無限深勢阱中的粒子的基態(tài)是n=1的本征態(tài).,（6）粒子的能級間隔,相鄰兩個能級的能量差：,相鄰兩個能級的能量差與勢阱寬度的平方成反比。因此，量子化現(xiàn)象對于空間范圍很小的微觀體系才顯著。,一維無限深勢阱應(yīng)用舉例：解釋有機燃料分子（多烯烴）不同顏色的根源。 有機燃料分子是線性分子，電子在分子內(nèi)運動是自由的，但不能跑出分子外，可以簡化為電子在一維無限深勢阱中運動。設(shè)分子限度為2a，例如 1

11、）靛藍(lán)，其 a大， 小，他吸收低頻光，反射高頻光，因此呈藍(lán)紫色。 2）剛果紅，其 a小， 大，他吸收高頻光，反射低頻光，因此呈紅色。,（三）宇稱,（1）空間反射變換：空間矢量反向的操作。,（2）此時如果有：,稱波函數(shù)具有偶宇稱；,稱波函數(shù)具有奇宇稱；,2.3 線性諧振子,（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用

12、標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（三）實例,（一）引言,（1）何謂諧振子,量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。,在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 ? 的粒子，受彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：,其解為 x = Asin(ω t + δ)。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。,若取V0 = 0，即平衡位置處于勢 V = 0 點，則,,（2）為什

13、么研究線性諧振子,自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，V 有一極小值V0 。在 x = a 附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：,,,,取新坐標(biāo)原點

14、為(a,V0)，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：,可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。,（1）方程的建立,,線性諧振子的 Hamilton算符：,定態(tài) Schrödinger 方程 ：,為簡單起見，引入無量綱變量ξ代替x，,此式是一變系數(shù)二階常微分方程。,（2）求通解,為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) ξ→±∞ 時波函數(shù) ψ的行為。在此情況下，λ<< ξ2，

15、 于是方程變?yōu)椋?其解為：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，,1. 漸近解,欲驗證解的正確性，可將其代回方程，,波函數(shù)有限性條件：,,當(dāng)ξ→±∞ 時，應(yīng)有 c2 = 0，,因整個波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：,ξ2 >> ± 1,其中 H(ξ) 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：

16、 ① 當(dāng)ξ有限時，H(ξ)有限； ② 當(dāng)ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→ 0。,將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得 關(guān)于 待求函數(shù) H(ξ) 所滿足的方程：,2. H(ξ)滿足的方程,此方程稱為 Hermite 方程。,3.Hermite 方程的級數(shù)解,以級數(shù)形式來求解，令：,用 k 代替 k’,由上式可以看出： b0 決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)； b1 決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)

17、。 因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個 線性獨立解。可分別令：,,b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).,即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0 從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：,該式對任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零。,只含偶次冪項,只含奇次冪項,則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven

18、 ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2],（3）用標(biāo)準(zhǔn)條件定解,(I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限,(II) ξ→±∞ 需要考慮無窮級數(shù)H(ξ)的收斂性,為此考察相鄰 兩項之比：,考察冪級數(shù)exp[ξ2]的展開式的收斂性,比較二級數(shù)可知： 當(dāng)ξ→±∞時

19、， H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。,單值性和連續(xù)性條件自然滿足，只剩下第三個有限性條件需要進(jìn)行討論。,因為H(ξ)是一個冪級數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點， 即勢場有跳躍的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。,所以，總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：,為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù) H(ξ) 必須從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求 H(ξ) 從某一項（比如第 n 項）起 以后各

20、項的系數(shù)均為零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0.,遞推關(guān)系,結(jié)論 基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取 分立值。,（4）厄密多項式,從有限性條件得到 H(ξ)是多項式，該多項式稱為厄密多項式，記為Hn(ξ)，于是，總波函數(shù)可表示為：,由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次冪是 n 其系數(shù)是 2n。,歸一化常數(shù),Hn(ξ) 也可寫成封閉形式：,λ = 2n+1,下面給出前幾個厄密多項式具體表達(dá)式：

21、 H0=1；H2=4ξ2-2 ；H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ；H3=8ξ3-12ξ；H5=32ξ5-160ξ3+120ξ,厄密多項式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：,從上式出發(fā)，可導(dǎo)出 厄密多項式的遞推關(guān)系：,應(yīng) 用 實 例,例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2,基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ

22、(x)的遞推關(guān)系：,（5）求歸一化常數(shù),分 步 積 分,該式第一項是一個多項式與 exp[-ξ2] 的 乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項為零。,繼續(xù)分步積分到底,因為Hn的最高次項 ξn的系數(shù)是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。,則諧振子波函數(shù)為：,(I)作變量代換，因為ξ=αx， 所以dξ=αdx； (II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。,（6）討論,3. 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)

23、，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0={1/2}?ω ≠0，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)。,1. 上式表明，Hn(ξ)的最高次項是(2ξ)n。所以, 當(dāng) n = 偶，則厄密多項式只含ξ的偶次項； 當(dāng) n = 奇，則厄密多項式只含ξ的奇次項。,2. ψn具有n宇稱,上式描寫的諧振子波函數(shù)所包

24、含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱由厄密多項式 Hn(ξ) 決定為 n 宇稱。,4. 波函數(shù),然而，量子情況與此不同,對于基態(tài)，其幾率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = N02 exp[-ξ2] (1)在ξ= 0處找到粒子的幾率最大； (2)在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零,與經(jīng)典情況完全不同。,以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|α x|< 1 范

25、圍中運動。這是因為振子在這一點(|αx| = 1)處，其勢能V(x)=(1/2)μω2 x2 = {1/2} ?ω= E0，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。,分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有 n 個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 [-a, a] 區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。,5. 幾率分布,當(dāng)線性諧振子處在前幾個量子態(tài)時,幾率分布與經(jīng)典情況差別很大。當(dāng)量子數(shù)增大時，相似性隨之增加。

26、,另一種解法,,,,,,,,,我們看到如果體系的勢能在無限遠(yuǎn)處是無窮大,則波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處為零,這個條件使體系的能級是分離的.如果體系的能量在無限遠(yuǎn)處不是無限大,而為有限值(下面取作零),這時粒子可以在無限遠(yuǎn)處出現(xiàn),波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處不為零,由于沒有無限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的約束,體系的能量可以取任意之,即組成連續(xù)譜.這類問題屬于粒子被勢場散射的問題,粒子由無限遠(yuǎn)處來,被勢場散射后又到無限遠(yuǎn)處去.在這類問題中,粒子的能量是預(yù)先確定的. 考

27、慮在一維空間運動的粒子, 勢場為,具有一定能量E的粒子由勢壘左方向右運動.在經(jīng)典力學(xué)中,只有能量E大于U0的粒子才能越過勢壘,能量小于U0的粒子將被反射回去,不能透過勢壘.當(dāng)粒子能量確定后,它能不能穿過勢壘是唯一確定的.在量子力學(xué)中,情況卻不是這樣, 能量大于U0的粒子有可能越過勢壘,也有可能被反射.而能量小于U0的粒子有可能被反射,但是也有可能越過勢壘.,定態(tài)Schrödinger方程:,一維勢散射問題,,（二）方程求解,（

28、1）E > V0 情況,因為 E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改寫為：,,上述三個區(qū)域的 Schrödinger 方程可寫為：,,定態(tài)波函數(shù)ψ1,ψ2,ψ3 分別乘以含時因子 exp[-iEt/?] 即可看出：式中第一項是沿x正向傳播的平面波，第二項是沿x負(fù)向傳播的平面波。由于在 x > a 的III 區(qū)沒有反射波，所以 C'=0

29、，于是解為：,,利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù)。首先,解單值、有限條件滿足?？紤]連續(xù)性:,1. 波函數(shù)連續(xù),2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù),解出,寫成矩陣形式,4. 透射系數(shù)和反射系數(shù),求解方程組得:,為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被 勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。,I 透射系數(shù)： 透射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為透射系數(shù) D = JD/JI,II 反射系數(shù)： 反射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比

30、稱為反射系數(shù) R = JR/JI,物理意義：描述貫穿到 x > a 的 III區(qū)中的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直 x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子（在 x < 0 的 I 區(qū)）在單位時間內(nèi)流過垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比。,,下面求 D 和 R,幾率流密度矢量：,對一維定態(tài)問題，J 與 時間無關(guān)。,對透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以，透射波幾率流密度：,反射波ψ= A’exp[-ik1x]， 所以，反

31、射波幾率流密度：,其中負(fù)號表示與入 射波方向相反。,入射波Ψ = Aexp[ik1x]，所以，入射波幾率流密度：,透射系數(shù)為:,從以上二式可看出， D+R=1，幾率守恒,入射粒子一部分貫穿勢壘到 x > a 的III區(qū)，另一部分則被勢壘反射回來。,反射系數(shù)為：,由于,（2）E < V0 情況,故令：k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ?]1/2。這樣把前面公式中的 k2 換成 ik3 。 并注意到：sin

32、 ik3a = i sinh k3a,即使 E < V0，在一般情況下，透射系數(shù) D 并不等于零。,,入射波+反射波,透射波,因 k2=[2μ(E-V0)/ ?]1/2，當(dāng) E < V0 時，k2 是虛數(shù)，,隧道效應(yīng)（tunnel effect）：,粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象.它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。左圖給出了勢壘穿透的波動圖象。,（三）討論,（1）當(dāng)k3a >&

33、gt; 1時,故4可略,透射系數(shù)則變?yōu)椋?粗略估計，認(rèn)為 k1 ≈ k3 （相當(dāng)于E ≈V0/2）, 則 D0 = 4是一常數(shù)。下面通過實例來說明透射系數(shù)的量級大小。,于是：,,例1: 入射粒子為電子。,設(shè) E=1eV, V0 = 2eV, a = 2× 10-8 cm = 2Å， 算得 D ≈ 0.51。,若a=5× 10-8cm = 5 Å， 則 D ≈ 0.024，可見 透射系數(shù)迅速

34、減小。,,質(zhì)子與電子質(zhì)量比 μp/μe ≈ 1840。 對于a = 2 Å則 D ≈ 2 × 10-38。 可見透射系數(shù)明顯的依賴于 粒子的質(zhì)量和勢壘的寬度。,量子力學(xué)提出后，Gamow 首先用勢壘穿透成功的說明 了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。,例2: 入射粒子換成質(zhì)子。,（2）任意形狀的勢壘,則 a→b貫穿勢壘V(x)的 透射系數(shù)等于貫穿這些小 方勢壘透射系數(shù)之積，即,此式的推導(dǎo)是不太嚴(yán)

35、格的，但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。,對每一小方勢壘透射系數(shù),可把任意形狀的勢壘分割成許 多小勢壘，這些小勢壘可以近 似用方勢壘處理。,（四）應(yīng)用實例,（1）原子鐘 （2）場致發(fā)射（冷發(fā)射）,α衰變、隧道二極管、熱核聚變、掃描隧道顯微鏡等都是勢壘穿透現(xiàn)象，下面介紹兩個典型實例。,（1）原子鐘,原子鐘的頻率標(biāo)準(zhǔn)就是利用氨分子( N H3 ) 基態(tài)勢壘貫穿的振蕩頻率。,氨分子(NH3)是一個棱錐體，N 原子在其頂點上，三個 H 原子

36、在基底。如右圖所示。,如果N原子初始在N處，則由于隧 道效應(yīng)，可以穿過勢壘而出現(xiàn)在 N’點。當(dāng)運動能量小于勢壘高度,R-S之間或T-U之間的振蕩（諧振子）；這兩個區(qū)域之間通過勢壘的緩慢得多的振蕩運動。,如圖中能級 E 所示，則N原子的運動有兩種形式：,對于NH3基態(tài)，第二種振蕩頻率為2.3786× 1010 Hz。這就是原子鐘在規(guī)定時間標(biāo)準(zhǔn)時所利用的氨分子的勢壘貫穿運動。,（2）場致發(fā)射（冷發(fā)射）,,欲使金屬發(fā)射電子，

37、可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發(fā)射和光電效應(yīng)。,但是，施加一個外電場，金屬中電子的所感受到的電勢如圖(b)所示。金屬中電子面對一個勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應(yīng)穿過勢壘漏出，從而導(dǎo)致所謂場致電子發(fā)射。,,小結(jié),1、深刻理解波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,幾率密度的含義 波函數(shù)在空間中某一點的強度(???2) 和在該點找到粒子的幾率成正比在時刻t,在(x,y,z)點附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率,稱為幾率密度