三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、<p><b>　　三角函數(shù)</b></p><p>　　一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)</p><p><b>　　1．任意角</b></p><p>　　(1)角的概念的推廣</p><p>　　①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角． </p><p>

2、　?、诎唇K邊位置不同分為象限角和軸線角．</p><p>　　角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．</p><p><b>　　第一象限角的集合為</b></p><p><b>　　第二象限角的集合為</b></p><p><b>　　第

3、三象限角的集合為</b></p><p><b>　　第四象限角的集合為</b></p><p>　　終邊在軸上的角的集合為</p><p>　　終邊在軸上的角的集合為</p><p>　　終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為</p><p>　　(2)終邊與角α相同的角可寫成α＋k·

4、360°(k∈Z)．終邊與角相同的角的集合為</p><p><b>　　(3)弧度制</b></p><p>　　①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．</p><p>　?、诨《扰c角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．</p><p>　?、郯霃綖榈膱A

5、的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是</p><p>　　④若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，．</p><p>　　2．任意角的三角函數(shù)定義</p><p>　　設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)

6、律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）</p><p>　　3．特殊角的三角函數(shù)值</p><p>　　二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式</p><p><b>　　A.基礎(chǔ)梳理</b></p><p>　　1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系</p><p>　　(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos

7、2α＝1；（在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)）</p><p>　　(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α. （3）倒數(shù)關(guān)系：</p><p><b>　　2．誘導(dǎo)公式</b></p><p>　　公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α， 其中k∈Z.</p><p

8、>　　公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.</p><p>　　公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，． </p><p>　　公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.</p><p>　　公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α

9、. </p><p>　　公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.</p><p>　　誘導(dǎo)公式可概括為k·±α的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式．口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化．若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限是指：把α看成銳角時(shí)，根據(jù)k

10、3;±α在哪個(gè)象限判斷原三角函數(shù)值的符號(hào)，最后作為結(jié)果符號(hào)．</p><p><b>　　B.方法與要點(diǎn)</b></p><p><b>　　一個(gè)口訣</b></p><p>　　1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．</p><p><b>　　2、四種方法<

11、/b></p><p>　　在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：</p><p>　　(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．</p><p>　　(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．</p><p>　?。āⅰ⑷齻€(gè)式子知一可求二）</p&

12、gt;<p>　　(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ= sin＝tan</p><p>　?。?）齊次式化切法：已知，則</p><p>　　三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)</p><p><b>　　學(xué)習(xí)目標(biāo)：</b></p><p>　　1會(huì)求三角函數(shù)的定義域、值域</p>&l

13、t;p>　　2會(huì)求三角函數(shù)的周期 ：定義法，公式法，圖像法（如與的周期是）。 </p><p>　　3會(huì)判斷三角函數(shù)奇偶性</p><p>　　4會(huì)求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間</p><p>　　5知道三角函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，對(duì)稱軸</p><p>　　6 知道，，的簡(jiǎn)單性質(zhì)</p><p><b>　　知識(shí)要

14、點(diǎn)梳理</b></p><p>　　1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。</p><p>　　2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：</p><p>　?。?）定義域：都是R。</p><p><

15、;b>　?。?）值域：都是，</b></p><p>　　對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng)時(shí)，取最小值－1；</p><p>　　對(duì)，當(dāng)時(shí)，取最大值1，當(dāng)時(shí)，取最小值－1。</p><p>　?。?）周期性：，的最小正周期都是2；</p><p>　?。?）奇偶性與對(duì)稱性：</p><p>　　①正弦函數(shù)是奇

16、函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線；</p><p>　?、谟嘞液瘮?shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線；（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸的交點(diǎn)）。</p><p><b>　?。?）單調(diào)性：</b></p><p>　　上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；</p><p>　　在上單調(diào)遞增

17、,在上單調(diào)遞減。特別提醒，別忘了！</p><p>　　3、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：</p><p><b>　?。?）定義域：。</b></p><p>　?。?）值域是R，無最大值也無最小值；</p><p>　?。?）奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交

18、點(diǎn)，另一類是漸近線與軸的交點(diǎn)，但無對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。</p><p>　　（4）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。</p><p>　　4、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)</p><p>　　5、研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的。</p><p>　　函數(shù)

19、y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性質(zhì)。</p><p><b>　　（1）定義域：R</b></p><p>　?。?）值域：[-A, A]</p><p><b>　　（3）周期性：</b></p><p>　?、俸偷淖钚≌芷诙际恰?lt;/p><p>　?、诘淖钚≌?/p>

20、期都是。</p><p>　　（4）單調(diào)性：函數(shù)y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的</p><p>　　單調(diào)增區(qū)間可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；</p><p>　　單調(diào)減區(qū)間可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。</p><p>　　在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將化正。</p><p

21、>　　如函數(shù)的遞減區(qū)間是______</p><p><b>　?。ù穑?lt;/b></p><p>　　解析：y=，所以求y的遞減區(qū)間即是求的遞增區(qū)間，由得</p><p>　　，所以y的遞減區(qū)間是</p><p>　　四、函數(shù)的圖像和三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用</p><p><b>

22、　　知識(shí)要點(diǎn)</b></p><p>　　幾個(gè)物理量： ①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：．</p><p>　　函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定.</p><p>　　函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．</p><p>　　3、函數(shù)圖象的畫法：①“五點(diǎn)法”――設(shè)

23、，令＝0，求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。</p><p>　　4、函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換可得到的圖象</p><p>　　5、函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象向左（>0）或向右（<0）平移個(gè)單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得

24、到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象向上（）或向下（）平移個(gè)單位，得到的圖象。</p><p>　　要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個(gè)單位，</p><p>　　如要得到函數(shù)y＝sin(2x－)的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象(　　 )</p><p>　　(A)向左平移 個(gè)單位　　 (B)向右平移個(gè)單位</p><p>　　(C

25、)向左平移個(gè)單位　　 (D)向右平移個(gè)單位</p><p>　　6、函數(shù)y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性質(zhì)和圖象的變換與y＝Asin（x＋）類似。</p><p><b>　　三角恒等變換</b></p><p>　　1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：</p><p><b>　?、?；⑵；&l

26、t;/b></p><p><b>　　⑶；⑷；</b></p><p><b>　?、?（）；</b></p><p><b>　?、?（）．</b></p><p>　　如 ；

27、 （答案： ）</p><p>　　2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：</p><p><b>　　⑴．</b></p><p>　　如cos2＋cos2＋coscos的值等于 ； （答案： ）</p><p><b>　?、?

28、lt;/b></p><p><b>　　升冪公式</b></p><p><b>　　降冪公式，． </b></p><p><b>　?、牵?lt;/b></p><p>　　3、二弦歸一把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為一個(gè)三角函數(shù)：，其中．</p><p

29、>　　4、三角變換時(shí)運(yùn)算化簡(jiǎn)的過程中運(yùn)用較多的變換，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算化簡(jiǎn)的方法．常用的方法技巧如下：</p><p>　?。?）角的變換：在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，使問題獲解，對(duì)角的變形如：</p><p>　?、偈堑亩?；是的二倍；是的二倍；是的二倍； &l

30、t;/p><p>　?、?；問： ； ；</p><p><b>　　③；④；⑤；等等.</b></p><p>　　如[1] . （答案： ）</p><p>　　[2]若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β

31、＜2π，則cos2α＝_____，cos2β＝_____.</p><p>　　（答案：－，－1） </p><p>　　[3]已知 則 ； （答案： ）</p><p>　?。?）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?，變異名為同名（二弦歸一）。

32、</p><p>　　如 ； </p><p>　?。?）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：</p><p>　?。?）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有： ；

33、 。有時(shí)需要升冪，常用升冪公式有： ； .如對(duì)無理式常用升冪化為有理式.</p><p>　?。?）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。</p><p><b>　　如：；；</b></p><p><b>　

34、　；；</b></p><p><b>　　；；</b></p><p><b>　　；；</b></p><p>　?。?；</p><p>　?。?；</p><p>　??；（其中