金融時間序列的多重分形特征研究.pdf

1、人們研究金融時間序列的主要目的是對價格、收益或其波動進行預測，主要工作可分為理論研究和實證研究這相輔相成的兩方面。近半個世紀來，在眾多經(jīng)濟、數(shù)學甚至物理方面的研究者的共同努力下已取得了很大的進步。
　　上世紀初法國數(shù)學家Louis Bachelier[1]首先將收益波動描述為布朗運動。這個理論在上世紀50年代之后應用非常流行。但人們沒有滿足于這個近似完美的數(shù)學模型，而是在不斷地改進發(fā)展，逐漸形成了時間序列波動理論模型的兩系:其一是

2、ARCH(autoregressive condition heteroscedasticity)模型[2]以及它的各種變形和復合，其二就是隨機波動(stochastic volatility)模型，或稱隨機方差(stochastic variance)模型，簡稱SV模型。雖然模型的發(fā)展比較完善，但總是不能解決現(xiàn)實中的很多問題。分形(Factal)的提出，使我們對序列本身有了新的認識。
　　1963年，B.B.Mandelbrot

3、在研究棉價變化的長期變化特征時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性[3]。同年在研究信號的傳輸誤差時，發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托爾集排列。這些并非偶然的現(xiàn)象使他用新的眼光來看大家習慣了的自然現(xiàn)象，并提出了幾乎可以涵蓋一切具有自相似性的不規(guī)則現(xiàn)象的新概念——分形。1975年，B.B.Mandelbrot用法文出版了分形幾何第一部著作《Fractal: Form，Chance and Dimension》標志著分形理論的正式誕生。分

4、形理論相比其它理論更能合理解釋很多自然現(xiàn)象，因此在很多領域得到了廣泛的應用。用分形理論來分析金融市場就產(chǎn)生了分形市場理論，它描述了一種更接近于真實市場的市場結(jié)構(gòu)——分形結(jié)構(gòu)，主要包括序列的長記憶(Long memory)性，又稱為長程相關(guān)性(Long RangeDependence)、持續(xù)性(Persistence)或反持續(xù)性(Anti-persistence)、標度不變性(Scale Invarance)、間歇性(Intermit-T

5、ency)或非同質(zhì)性(Inhomogeneity)、極端易變性(Volatility)。
　　研究序列單分形特征最早的方法是重標極差分析（rescaled range analysis，R/S）方法。R/S分析法最先是Hurst(1951)在研究水庫由降雨等不可控因素引起的容量變化而提出的非參數(shù)統(tǒng)計方法[4]，同時提出了一個很有用的指數(shù)，后稱為Hurst指數(shù)，以下簡記為H。Hurst指數(shù)的提出，使人們對時間序列的長程相關(guān)性有了一個

6、量化的認識。Hurst指數(shù)能描述時間序列波動的標度屬性，能判斷時間序列的非隨機性，它的大小反映時間序列持續(xù)性或反持續(xù)性的強弱。而對持續(xù)性較強的時間序列，我們才有預測的可能。C.-K.Peng等(1993)[5-6]在研究DNA分子時，發(fā)現(xiàn)NDA分了順序在其分子個數(shù)大于104時，呈現(xiàn)一種長程的、冪指數(shù)分布，隨后提出了DFA(detrended fluctuation analysis)方法。DFA方法可以分析非平穩(wěn)時間序列的長記憶性，并得

7、到Hurst指數(shù)。2002年E.Alessio等[7]在DFA方法上提出了DMA方法，主要是將前者中的多項式擬合換成了滑動平均。DMA方法可以計算Hurst指數(shù)，而且相對于DFA算法，DMA的運算更加快捷和準確，因為滑動平均比擬合多項式簡單且誤差小[8-9]。DFA算法有很多變形，Amir Bashan[10]特別加以比較，其中CMA(Centered Moving Average)方法在n較小時也有較好的穩(wěn)定性，而CMA與BMA（Ba

8、ckward Moving Average，DMA的別稱）基本相似。
　　但要刻畫股市真正存在的精細結(jié)構(gòu)需要研究多重分形結(jié)構(gòu)。所謂多重分形，是定義在分形結(jié)構(gòu)上的由多個標度指數(shù)的分形測度組成的無限集合，它刻畫了分布在子集上的具有不同標度和標度指數(shù)的分形子集的局部標度性。從幾何的觀點看，組成分形集的若干個子集的標度、分形維數(shù)都不同。隨著分形理論的發(fā)展，多重分形分析成了金融時間序列研究的一個前沿問題。分形的創(chuàng)始人Mandelbrot最先

9、提出了資產(chǎn)收益的多重分形模型(Multifractal Model of Asset Return，簡稱MMAR)[11-13]，此模型考慮了厚尾和長期記憶性。MMAR不一定含有無限方差，因此有別于列維穩(wěn)定分布(Levy Stable Distribution);它又區(qū)別于分數(shù)布朗運動(Fractional BrownianMotion，F(xiàn)BM)，當資產(chǎn)價格增量自身不相關(guān)時，MMAR顯示出在價格增量的絕對值中具有長期記憶性。2002年K

10、antelhardt等[14]在DFA方法的基礎上提出的多重分形消除趨勢分析(MF-DFA)方法，可以分析非平穩(wěn)時間序列的多重分形特征。從此考察時間序列的分形特征不僅僅是單一的Hurst指數(shù)，而是變化的廣義Hurst指數(shù)。2005年Ramirez等[15]在研究原子核反應堆中的中子功率振動(neutronic power)的長程相關(guān)性時，利用Hǒlder范數(shù)直接推廣了DFA方法，得到一種新的MF-DFA方法。
　　本文在學習和總結(jié)