分形理論和時間序列分析若干問題研究.pdf

1、分形理論作為非線性科學(xué)中的一支新軍，其研究對象不但包括不光滑、不可微的幾何形狀，而且涉及非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生的相關(guān)性，主要研究方法足通過分析其維數(shù)、多重分形譜、相關(guān)指數(shù)等特征參數(shù)進行特征考察.本文對上述分形特征參數(shù)展開研究，包括具有正Lebesgue測度自相似集的性質(zhì)、信號變換對多重分形譜的影響、除趨勢波動分析方法的基本特征、數(shù)據(jù)的噪聲處理等。
　　本文組織結(jié)構(gòu)如下：
　　第一章簡要介紹多重分形譜理論與除趨勢波動分析(DFA)方

2、法的產(chǎn)生背景與研究現(xiàn)狀以及這兩種理論之間的關(guān)系，并且給出本文的主要結(jié)果。
　　第二章討論R1上具有正Lebesgue測度的自相似集是否包含一個區(qū)間的問題，證明了下面兩種情況時，集E包含一個區(qū)間當(dāng)且儀當(dāng)E具有正Lebesgue測度：(1)E(f1，f2)是R1上自相似集，且fi(x)=cix+ei，ci∈(0，1)，ei∈R1，i=1，2；(2)E=E(c，Ψ)是R1上關(guān)于fi(x)=cx+cei，c∈(0，1)，ei∈Ψ，i=1，

3、2，…，m的自相似集，假定Ψc，∞是一致離散的，但Ψc，∞上不同的擴張允許相等。
　　第三章研究的是多重分形譜的性質(zhì).對于多重分形級聯(lián)模型產(chǎn)生時間序列，給出了多項式變換后的Holder指數(shù)極大值和極小值，研究了多項式變換和對數(shù)變換對多重分形譜的影響，并嚴格證明了線性變換不改變?nèi)我夥中螖?shù)據(jù)的多重分形譜.此外，本章研究了多項式趨勢、周期性趨勢以及指數(shù)趨勢對多重分形譜的影響。
　　第四章足對除趨勢波動函數(shù)分析方法(DFA)的算法進

4、行研究.本章引入了局部波動函數(shù)的概念，證明了數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化不影響DFA指數(shù)的計算結(jié)果，分析了數(shù)據(jù)測量精度對DFA指數(shù)的影響.此外，提出了時間延遲DFA方法，并證明了平穩(wěn)過程時間序列的DFA波動函數(shù)與時間延遲DFA波動函數(shù)依概率相等。
　　第五章的研究對象是除趨勢交叉波動方法(DCCA).DCCA方法作為DFA方法的推廣，可以測量多組數(shù)據(jù)的交叉相關(guān)性.通過假設(shè){xi}與{yi}為高斯噪聲過程，{xi}ni=1與{yi}ni=1為該過程的

5、時間序列，結(jié)果發(fā)現(xiàn)αxy≤α=max(αx，αy)，其中，αx，αy分別為{xi}ni=1與{yi}ni=1的相關(guān)指數(shù)，αxy是{xi}ni=1yu{yi}ni=1的交叉波動相關(guān)指數(shù)。
　　第六章提出了基于混沌理論和奇異值分解技術(shù)的數(shù)據(jù)去噪方法.通過將混沌理論中相空間重構(gòu)原理引入奇異值分解技術(shù)中，實現(xiàn)分形數(shù)據(jù)的噪聲消除，本文稱之為混沌奇異值方法(CSVD).將CSVD方法進行實證分析表明，它不僅能夠恢復(fù)原始數(shù)據(jù)DFA指數(shù)，而且也能