畢業(yè)論文--數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用

1、<p>　　數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用</p><p>　　Effect of the Beauty in Mathematics during the Education of middle School</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　數(shù)學(xué)作為人類文化重要的組成部分，是一門有組織的，獨(dú)立而理性的

2、學(xué)科，在人類生活的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)，一直以來都是數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)注的一個(gè)熱門話題。然而，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀令人堪憂！體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：一是傳統(tǒng)教學(xué)中錯(cuò)誤意識(shí)難以改變；二是學(xué)生學(xué)習(xí)壓力沒有減輕；三是教師教學(xué)方式單調(diào)。</p><p>　　本文闡述了數(shù)學(xué)與美的關(guān)系，探討了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美和奇異美。對(duì)數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用進(jìn)行了分析，指出數(shù)學(xué)美是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的源泉，它有利于激

3、發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的積極性；數(shù)學(xué)美能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和獨(dú)創(chuàng)精神；數(shù)學(xué)美有助于提高學(xué)生的思維水平，提高學(xué)生分析解決問題的能力；數(shù)學(xué)美還能陶冶學(xué)生的思想情操。為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用，本文就學(xué)生數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng)提出了方法。作者希望通過探討數(shù)學(xué)的美學(xué)作用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能感受到數(shù)學(xué)美，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，快樂的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，老師能豐富教學(xué)方式，讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而能進(jìn)一步提高中學(xué)數(shù)學(xué)教育的效果和質(zhì)量。</p&g

4、t;<p>　　關(guān)鍵詞：中學(xué)；數(shù)學(xué)美；數(shù)學(xué)教育；作用</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Mathematics as the important part of human culture, is an organized, independent and rational subject ,in the area

5、s of human life play an important role.How to learn maths well,mathematical education workers has long been a concern of a hot topic.Now, however, our country middle school mathematics education present situation worryin

6、g!Reflected in the following three aspects: the first, false consciousness is difficult to change in traditional teaching;the second students study pressure did not d</p><p>　　This paper expounds the relatio

7、n between mathematics and the beautiful, mathematics simple beauty, symmetric beauty, unified beauty and singular beauty are discussed.The role of beauty of mathematics in middle school mathematics education are analyzed

8、, it pointed out that the source of beauty is to stimulate interest in learning mathematics, it is helpful to inspire students' enthusiasm to study mathematics.Mathematical beauty can cultivate students' innovati

9、on ability and innovative spirit;Math</p><p>　　Key words:Middle school; mathematical beauty; mathematics education; effect</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要……………………………………

10、………………………………………………1</p><p>　　關(guān)鍵詞………………………………………………………………………………1</p><p>　　Abstract……………………………………………………………………………2</p><p>　　Key words………………………………………………………………………2</p><p>　　

11、一、問題提出的背景及意義…………………………………………………………5</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學(xué)教育應(yīng)該屬于每一個(gè)人…………………………………………………5</p><p>　?。ǘ┲袑W(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀…………………………………………………………5</p><p>　　1.傳統(tǒng)教學(xué)中的錯(cuò)誤意識(shí)難以改變…………………………………………………5</p>

12、<p>　　2.升學(xué)壓力沒有減輕…………………………………………………………………5</p><p>　　3.教師教學(xué)方式單調(diào)…………………………………………………………………6</p><p>　　二、數(shù)學(xué)的美…………………………………………………………………………6（一）數(shù)學(xué)與美………………………………………………………………………6</p><p&g

13、t;　　1.數(shù)學(xué)家與藝術(shù)……………………………………………………………………6</p><p>　　2.數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美……………………………………………………………………7</p><p>　　3.美的數(shù)學(xué)……………………………………………………………………………7</p><p>　?。ǘ?shù)學(xué)美的基本特征…………………………………………………………8</p

14、><p>　　1.簡(jiǎn)單美………………………………………………………………………………8</p><p>　　2.對(duì)稱美………………………………………………………………………………9</p><p>　　3.統(tǒng)一美……………………………………………………………………………11</p><p>　　4.奇異美………………………………………………………

15、……………………12</p><p>　　三、數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用………………………………………………14</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學(xué)美是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的源泉 ………………………………………………14</p><p>　　（二）數(shù)學(xué)美能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和獨(dú)創(chuàng)精神 …………………………………14</p><p>　?。ㄈ?shù)學(xué)美有助

16、于提高學(xué)生的思維水平 …………………………………………15</p><p>　?。ㄋ模├脭?shù)學(xué)美陶冶學(xué)生的思想情操 ……………………………………………15</p><p>　　四、數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng)……………………………………………………………16</p><p>　　數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美能力的依據(jù)………………………………………16</p><

17、p>　　數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng)…………………………………………………………17</p><p>　　1.提高數(shù)學(xué)教師的美學(xué)修養(yǎng)………………………………………………………17</p><p>　　2.挖掘教材中潛在的美學(xué)因素……………………………………………………17</p><p>　　3.數(shù)學(xué)教學(xué)中要為學(xué)生提供創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)…………………………………17<

18、;/p><p>　　4.教師要有培養(yǎng)學(xué)生審美能力的熱情和耐心……………………………………18</p><p>　　數(shù)學(xué)美學(xué)方法與中學(xué)數(shù)學(xué)……………………………………………………18</p><p>　　1.數(shù)學(xué)美學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用………………………………………18</p><p>　　2.總結(jié)…………………………………………………………

19、……………………20</p><p>　　參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………22</p><p>　　致謝…………………………………………………………………………………23</p><p>　　一、問題提出的背景及意義</p><p>　　（一）數(shù)學(xué)教育應(yīng)該屬于每一個(gè)人</p><p>　

20、　眾所周知，數(shù)學(xué)最引人注目的特點(diǎn)是它的思維的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性。對(duì)于數(shù)學(xué)地位的認(rèn)識(shí)，并不是新問題。人們常說，數(shù)學(xué)是其他學(xué)科的基礎(chǔ)，是訓(xùn)練邏輯思維能力的體操；也有人說數(shù)學(xué)是一種文化、一種思想，是今天作為科技工作者所必備的素質(zhì)；更有人直截了當(dāng)?shù)卣J(rèn)為，現(xiàn)代數(shù)學(xué)本身就是一種高科技、一種生產(chǎn)力。</p><p>　　數(shù)學(xué)是由于現(xiàn)實(shí)世界的需要而發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)絕不是什么符號(hào)游戲，而是人類生活、生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。

21、生活需要數(shù)學(xué)，生產(chǎn)需要數(shù)學(xué)，科學(xué)技術(shù)需要數(shù)學(xué)，社會(huì)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)，而作為現(xiàn)實(shí)社會(huì)的每一個(gè)人，不論是工程師、藝術(shù)家、普通工作人員等都必須掌握一定的數(shù)學(xué)，并能為自己的需要服務(wù)，而這種服務(wù)的本身就是對(duì)生產(chǎn)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的促進(jìn)。學(xué)校進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的目的就是為了每一個(gè)人都能夠?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)。正如荷蘭數(shù)學(xué)教賴登塔爾說的：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，就必須寓于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí)”?！皵?shù)學(xué)是屬于所有人的，因此我們必須將數(shù)學(xué)教給所有人”。</p>&

22、lt;p>　?。ǘ┲袑W(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀</p><p>　　1.傳統(tǒng)教學(xué)中的錯(cuò)誤意識(shí)難以改變</p><p>　　新中國(guó)成立后，我國(guó)教育對(duì)于數(shù)學(xué)的要求越來越高。到現(xiàn)在還有很多人認(rèn)為學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕，這足以看清楚數(shù)學(xué)教育在中國(guó)人意識(shí)中的地位。由于歷史原因，我國(guó)的教育初期對(duì)數(shù)學(xué)教育的要求格外苛刻，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一切知識(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)數(shù)學(xué)教育的重視是非常正確的。但是中國(guó)的數(shù)學(xué)教育方式卻沒

23、有吸取其它先進(jìn)國(guó)家的經(jīng)驗(yàn)，而是強(qiáng)行將傳統(tǒng)的“頭懸梁”、“錐刺股”的教育方式與數(shù)學(xué)課程聯(lián)系起來，認(rèn)為只有死記硬背才能夠真正掌握這門學(xué)科。這是我國(guó)數(shù)學(xué)教育存在的最大問題。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)學(xué)科，它具有開發(fā)學(xué)生智力，提高學(xué)生思維能力的作用，這是其他學(xué)科無法替代的。可是在傳統(tǒng)的教學(xué)中，如果過分地強(qiáng)調(diào)機(jī)械學(xué)習(xí)，那么即使得到了高分，也不能培養(yǎng)出社會(huì)需要的人才，僵化的教學(xué)和學(xué)習(xí)模式，必然會(huì)給教育帶來很大的隱患。</p><p>

24、　　2.升學(xué)壓力沒有減輕</p><p>　　隨著我國(guó)教育的不斷發(fā)展，很多教育家意識(shí)到我們數(shù)學(xué)教育存在的問題，提出了減負(fù)概念。雖然這種觀念的初衷是好的，但是在實(shí)施過程中卻出現(xiàn)了偏差，這主要是因?yàn)樯龑W(xué)思維沒有發(fā)生一點(diǎn)改變，家長(zhǎng)和學(xué)校對(duì)學(xué)生的升學(xué)理念從來沒有發(fā)生改變，這些都導(dǎo)致了“減負(fù)”成為幌子，教育過程沒有發(fā)生實(shí)質(zhì)性的改變。中國(guó)人雖然知道“范進(jìn)中舉”是很好笑的事情，但是卻看不到自己對(duì)學(xué)生的要求，也正是要培養(yǎng)這樣的“

25、人才”。試想一下，這樣下去，我們的教育還會(huì)長(zhǎng)久嗎？我們的學(xué)校培育出來的學(xué)生，能夠真正適應(yīng)將來社會(huì)的考驗(yàn)和國(guó)際形式發(fā)展的考驗(yàn)嗎？答案是明確的，“高分低能”的學(xué)生在我國(guó)已經(jīng)大量存在了，這樣的教育模式下，教育改革勢(shì)在必行。</p><p>　　3.教師教學(xué)方式單調(diào)</p><p>　　目前很多數(shù)學(xué)教師在講課過程中，過分注重“講”，而忽略了學(xué)生反饋。教學(xué)過程包括老師的“講述”和學(xué)生的“反饋”，缺一

26、不可。一些年輕、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不豐富的老師，在講課過程中，要求學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行死記硬背，而不是通過細(xì)心講解，讓學(xué)生吃透知識(shí)。這對(duì)于學(xué)生的發(fā)展是非常不利的，嚴(yán)重影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中公式的理解，學(xué)生不明白公式的來歷，不能夠去推導(dǎo)公式的組成，這樣不僅會(huì)造成課堂的乏味，而且導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)難以提高。</p><p>　　數(shù)學(xué)作為人類文化重要的組成部分，是一門有組織的，獨(dú)立而理性的學(xué)科，在人類生活的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。怎

27、樣學(xué)好數(shù)學(xué)，一直以來數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)注的一個(gè)熱門話題。我國(guó)正進(jìn)行著課程的改革，數(shù)學(xué)教學(xué)目的也發(fā)生著重大的變化。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)是使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的審美能力，即能使學(xué)生增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)美的主觀感受能力，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是主動(dòng)的，富有美感的智力活動(dòng)，學(xué)習(xí)材料的興趣和帶來美的愉悅和享受是推動(dòng)學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力?！?lt;/p><p>　　本文將從數(shù)學(xué)與美的關(guān)系出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)美的特征，在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，

28、運(yùn)用舉例法挖掘數(shù)學(xué)教材以及生活中的美學(xué)因素。著重從新課標(biāo)所關(guān)注的思維，情感態(tài)度及數(shù)學(xué)價(jià)值觀三個(gè)方面闡述數(shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用，從而說明數(shù)學(xué)審美教育的重要性，并指出教師開展審美教育的多種途徑。</p><p><b>　　二、數(shù)學(xué)的美</b></p><p><b>　?。ㄒ唬?shù)學(xué)與美</b></p><p><b&g

29、t;　　1.數(shù)學(xué)家與藝術(shù)</b></p><p>　　歷史上許多數(shù)學(xué)家與藝術(shù)有不解之緣，成為引人注目的歷史現(xiàn)象。</p><p>　　在古代，可以說這一現(xiàn)象更為典型。在古希臘時(shí)，亞里士多德、柏拉圖、德謨克利特等人的著作中，許多既是杰出的科學(xué)和哲學(xué)著作，又是優(yōu)秀的藝術(shù)著作，尤其是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的許多成員，他們不僅僅是一批著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，同時(shí)他們還研究音樂和繪畫

30、，被稱為最早用自然科學(xué)觀點(diǎn)看待美學(xué)的美學(xué)家。</p><p>　　畢達(dá)哥拉斯是音樂理論的一位始祖，他闡明了單弦的調(diào)和樂音與單弦弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)單弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長(zhǎng)度，繃得一樣緊的弦若其長(zhǎng)度乘整數(shù)比時(shí)，就會(huì)發(fā)出諧音。歐幾里得、普托拉米等數(shù)學(xué)家也寫過音樂方面的著作，研究過諧音的配合，而且還制訂過音階。</p><p>　　達(dá)·芬奇既是文藝復(fù)興時(shí)期的一位大畫家，同時(shí)又是一

31、位數(shù)學(xué)家，著名的“黃金分割”的名稱就是出自這位畫家之口。他曾說：“一個(gè)人如懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就會(huì)陷入混亂”，他非常贊同數(shù)學(xué)的說明和論證。</p><p>　　大科學(xué)家克斯韋爾是另一位同時(shí)具備數(shù)學(xué)才能和寫詩(shī)才能的代表。俄國(guó)卓越的女?dāng)?shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭既能寫小說，又能寫劇本。20世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一馮·諾依曼也是博才多藝，他除了是語(yǔ)言學(xué)家外，還極愛喜劇。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚、蘇步青、李國(guó)豪的書法也是我

32、國(guó)學(xué)術(shù)界為人所知的。</p><p>　　這里，我們不是想由所列舉的歷史現(xiàn)象得出凡數(shù)學(xué)家同時(shí)是藝術(shù)家的結(jié)論，只是想提出數(shù)學(xué)與美學(xué)之間究竟有些什么聯(lián)系的問題。也許，數(shù)學(xué)家自己關(guān)于數(shù)學(xué)與美學(xué)的論述還能直接說明一些問題。這正是我下面要介紹的。</p><p><b>　　2.數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美</b></p><p>　　古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾斷

33、言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?lt;/p><p>　　現(xiàn)代美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因?qū)?shù)學(xué)美描述為：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！?lt;/p><p>　　懷特海德曾說：“只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美。”羅素也說過：“數(shù)學(xué)，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅額美，這種美不是投合我

34、們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，他可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地。”</p><p>　　馮·諾依曼也講過這樣的話：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功標(biāo)準(zhǔn)主要都是美學(xué)的?！彼终f：“數(shù)學(xué)思想來源于經(jīng)驗(yàn)，我想這一點(diǎn)是比較接近真理的，真理實(shí)在太復(fù)雜了，對(duì)之只能說接近，別的都不能說。雖則經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想之間的宗譜，有時(shí)既長(zhǎng)又不明顯，但是

35、，數(shù)學(xué)思想一旦被這樣構(gòu)思出來，這門學(xué)科就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命，把它比作創(chuàng)造性的，受幾乎一切審美因素支配的學(xué)科，就比把他比作別的事物特別是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)要更好一些?！?lt;/p><p><b>　　3.美的數(shù)學(xué)</b></p><p>　　首先，我們來看一組數(shù)字美</p><p>　　1·9+2=11

36、 9·9+7=88</p><p>　　12·9+3=111 98·9+6=888</p><p>　　123·9+4=1111 987·9+5=8888</p><p>　　1234·9+5=11111

37、 9876·9+4=88888</p><p>　　··· ···</p><p>　　1·1=1 9·9=81</p><p>　　11·11=121

38、 99·99=9801</p><p>　　111·111=12321 999·999=998001</p><p>　　1111·1111=1234321 9999·9999=99980001 </p><p>　　·&#

39、183;· ···</p><p>　　再看一組圖形美（如圖2-1）</p><p><b>　　圖2-1</b></p><p>　　當(dāng)然，美的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)更表現(xiàn)在更為廣泛的方面。</p><p>　　感受到自然和人類，并用美麗的

40、語(yǔ)言去謳歌她，這就是詩(shī)歌；用美麗的色彩和筆調(diào)去描述她，這就是繪畫；用美麗的音符和旋律去表現(xiàn)她，這就是音樂；感受到存在于數(shù)和圖形之間的美，并在理智引導(dǎo)下的證明去表現(xiàn)她，這就是數(shù)學(xué)。</p><p>　　高懸的日月，奇異的地貌，五彩繽紛的世界，甚至生物的活動(dòng)中都有許多美麗的地方，至于人類生活中就有更多美麗的東西了。這些“美”的東西里面竟深藏著許多數(shù)學(xué)的奧妙，這就是“美”中的數(shù)學(xué)。</p><p&g

41、t;　　例如，人們最常見的植物葉片、花瓣，都是呈規(guī)則的幾何圖形。再如，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)成年人人體分高、中、低三等身材，其中中等男人軀干部分寬與高的比是1:1.61878。三種人平均計(jì)算其比為1:1.61.盡管世界各地各種族間人體高差別很大，但軀干部分的寬與高之比都接近于1:1.618。</p><p>　　中等男子的軀干大概是最美的了。在古希臘，門窗的寬與高之比如果等于0.618就被認(rèn)為是最美的，就好像人的軀干一樣。此

42、外，人體中還有眾多的部分為1:1.618.因而人體是最有美感的。</p><p>　　數(shù)學(xué)是從自然界中抽象出來的，然而，柏拉圖認(rèn)為：“神永遠(yuǎn)是按幾何規(guī)律辦事的，世界是按數(shù)學(xué)的定律設(shè)計(jì)的，數(shù)學(xué)是最完美的，數(shù)學(xué)處于主宰的地位，感官所認(rèn)識(shí)的世界是不完美的、不持久的。”我雖然不能贊成這種夸大了的甚至是顛倒了的觀點(diǎn)。但是我認(rèn)為，數(shù)學(xué)是來自自然的美的科學(xué)，同時(shí)，數(shù)學(xué)作為科學(xué)，她本身又顯示出耀眼的科學(xué)美。</p>

43、<p>　?。ǘ?shù)學(xué)美的基本特征</p><p>　　和任何美感一樣，數(shù)學(xué)美具有強(qiáng)烈的感性色彩，不是虛無縹緲、不可捉摸，而是有其確定內(nèi)容的，它的基本特征是相對(duì)穩(wěn)定的，具有簡(jiǎn)單性、對(duì)稱性、統(tǒng)一性和奇異性。</p><p><b>　　1.數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美</b></p><p>　　簡(jiǎn)單美又稱簡(jiǎn)潔美，是數(shù)學(xué)美的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)理論的過人之

44、處，就在于能用最簡(jiǎn)單的方式解釋現(xiàn)實(shí)世界中的量及關(guān)系的規(guī)律性。龐加萊說過：“簡(jiǎn)單性就是一種美。”</p><p>　　我們?nèi)粘Ｋf“這個(gè)解法很美”，這里所說的“美”，則往往就包括了簡(jiǎn)單性的含義。對(duì)此，狄德羅曾指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單回答?！瘪T·諾依曼指出：“人們要求一個(gè)數(shù)學(xué)定理或數(shù)學(xué)理論，不僅能用簡(jiǎn)單和優(yōu)美的方法對(duì)大量的先天彼此毫無聯(lián)系的個(gè)別情況加以描述，并進(jìn)行分類，而且也

45、期望它在建筑結(jié)構(gòu)上優(yōu)美?！?lt;/p><p>　　例如，對(duì)于數(shù)學(xué)表達(dá)式來說，所含符號(hào)較少，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、醒目，直觀性強(qiáng)，但它卻概括了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線五中曲線方程，這就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)關(guān)系式的簡(jiǎn)單性。</p><p>　　又如相對(duì)論的數(shù)學(xué)公式，是那樣的簡(jiǎn)潔明了，它指導(dǎo)人們?cè)S多年的實(shí)驗(yàn)，給人開辟新的能源——核能。</p><p>　　簡(jiǎn)單性充分表現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用、數(shù)

46、學(xué)的抽象形式與抽象方法、數(shù)學(xué)的解題方法與技巧上面?？梢哉f簡(jiǎn)單性充滿了整個(gè)數(shù)學(xué)。</p><p><b>　　例如常見的數(shù)學(xué)符號(hào)</b></p><p>　　等，它們?nèi)绱撕?jiǎn)潔，使人們明白無誤。</p><p>　　表示7個(gè)12相乘，固然形式更為簡(jiǎn)潔，又使這些表示具有了更為復(fù)雜的內(nèi)容，不然用普通語(yǔ)言來敘述是這么麻煩。</p><

47、p>　　不太常見的數(shù)學(xué)符號(hào)，表示不超過的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，人們將歌德巴赫猜想證明的進(jìn)程，分別用（9+9），（7+7)，(6+6)，...，（3+3）以及（1+9），（1+5），...，（1+2）等來表示，這樣簡(jiǎn)單又明確。</p><p><b>　　2.數(shù)學(xué)的對(duì)稱美</b></p><p>　　對(duì)稱美又稱勻稱美。對(duì)稱，是自然中萬物具有的共性之一。對(duì)稱的圖案，對(duì)稱的建筑

48、物，這是到處可見的。繪畫中利用對(duì)稱，文學(xué)作品中也使用對(duì)稱手法。</p><p>　　數(shù)學(xué)中的對(duì)稱有點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱。球形既是點(diǎn)對(duì)稱又是線對(duì)稱，還是面對(duì)稱，古代希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”這種贊譽(yù)，其原因可能主要是基于球形、圓形的對(duì)稱性、勻稱性。</p><p>　　二項(xiàng)式展開也顯示出一種對(duì)稱美：</p><

49、p>　　與二項(xiàng)式展開式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的楊輝三角更是組成一個(gè)美麗的對(duì)稱圖案：</p><p><b>　　1 1</b></p><p><b>　　1 2 1 </b></p><p>　　1 3 3 1 </p><p>　　1 4 6 4 1 </p><

50、;p>　　1 5 10 10 5 1 </p><p>　　1 6 15 20 15 6 1 </p><p>　　1 7 21 35 35 21 7 1</p><p><b>　　···</b></p><p>　　下面兩個(gè)集合運(yùn)算中的公式的對(duì)稱

51、性也是很優(yōu)美的：</p><p>　　同時(shí)，可進(jìn)一步推廣為：</p><p>　　許多互逆的運(yùn)算之間存在著對(duì)稱性。作為一個(gè)例子我們?cè)倥e出對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的兩個(gè)式子，其中表示。</p><p>　　再如，數(shù)列極限問題。我們知道數(shù)列</p><p>　　存在極限的“”說法如下：“對(duì)任何，有某，使任何”</p><p>　

52、　那么，數(shù)列不存在極限應(yīng)該怎么說呢？即上述說話的否定形式應(yīng)該是怎樣的呢？實(shí)際上有一種簡(jiǎn)單的對(duì)稱說法，我們只要將上述說法中的“任何”兩字換成“某”，而將“某”字換成“任何”兩字，然后將最后的不等式改換，變成：“有某，對(duì)任何，有某”</p><p>　　這就是說，數(shù)學(xué)中常見的對(duì)稱性，既有概念的對(duì)稱，如：三角形的內(nèi)切圓，圓的內(nèi)接三角形，四面體的內(nèi)切球，球的內(nèi)接四面體；又有性質(zhì)的對(duì)稱性，如：</p><

53、;p>　　等，以及法則、公式的對(duì)稱性，圖像的對(duì)稱性等。</p><p><b>　　3.數(shù)學(xué)統(tǒng)一美</b></p><p>　　統(tǒng)一美又稱為和諧美，數(shù)學(xué)中部分與部分，部分與整體之間往往追求和諧統(tǒng)一。</p><p>　　i 是最簡(jiǎn)單的虛數(shù)，它是一個(gè)虛數(shù)單位，就好比1是一個(gè)實(shí)數(shù)單位一樣，1和i是兩個(gè)最簡(jiǎn)單的數(shù)。從另一方面看，人類曾經(jīng)長(zhǎng)期捉摸

54、不透的又有兩個(gè)數(shù)，知道19世紀(jì)后半葉，才發(fā)現(xiàn)它們還是超越數(shù)，當(dāng)然可謂是最復(fù)雜的數(shù)了。</p><p>　　這兩個(gè)最簡(jiǎn)單的數(shù)1和i，同兩個(gè)最復(fù)雜的數(shù)看來，他們彼此缺乏聯(lián)系，似乎毫不沾親帶故，但后來發(fā)現(xiàn)它們四個(gè)數(shù)竟然可以統(tǒng)一在一個(gè)式子里：</p><p>　　數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性使人感嘆不已。統(tǒng)一性確實(shí)是數(shù)學(xué)美的重要特征之一，而且也是數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)之一。</p><p>　　人

55、們總是力圖把簡(jiǎn)潔美與統(tǒng)一美聯(lián)系起來，我們考察一些事例，最簡(jiǎn)單的運(yùn)算當(dāng)然是加法了。</p><p>　　引進(jìn)了負(fù)數(shù)后，減法可以統(tǒng)一為加法。引進(jìn)了倒數(shù)后，除法可以統(tǒng)一為乘法。而引進(jìn)了對(duì)數(shù)后，乘法與除法又可以統(tǒng)一為加法，這樣，有了對(duì)數(shù)，乘方、開方等也都可以歸結(jié)為乘法，從而最終歸結(jié)為加法。甚至，微積分的近似計(jì)算，微分方程的近似求解等也可歸結(jié)為加法。</p><p>　　原來，在如此眾多的運(yùn)算之間也

56、存在統(tǒng)一性，而且在一定條件下統(tǒng)一在最簡(jiǎn)單的加法上。</p><p>　　在數(shù)學(xué)的各科中，我們到處可舉出這些由“小統(tǒng)一”到“大統(tǒng)一”的范例。而且不同形式的公式可統(tǒng)一為同一個(gè)公式，不同類型的問題可統(tǒng)一為統(tǒng)一形式的問題。</p><p>　　從自然數(shù)之后陸續(xù)產(chǎn)生新數(shù)，先是負(fù)整數(shù)、0、分?jǐn)?shù)，然后是無理數(shù)、虛數(shù)。但這些數(shù)都統(tǒng)一在復(fù)數(shù)系內(nèi)，實(shí)數(shù)系成了復(fù)數(shù)系的一部分。</p><p&

57、gt;　　復(fù)數(shù)是形如的數(shù)，其中為實(shí)數(shù)；實(shí)數(shù)則形如。怎么說實(shí)數(shù)系是復(fù)數(shù)系的一部分呢？實(shí)際上，實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的子集之間不僅存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且對(duì)于實(shí)數(shù)的加法和復(fù)數(shù)的加法而言，由和，可推知。用熟知的術(shù)語(yǔ)說，集合和之間存在同構(gòu)關(guān)系。對(duì)實(shí)數(shù)集上的乘法而言，也存在同構(gòu)關(guān)系。因此，集合和可以看作是同一個(gè)東西，所以我們把實(shí)數(shù)系視為復(fù)數(shù)系的一部分。這是按同構(gòu)的觀點(diǎn)把實(shí)數(shù)納入復(fù)數(shù)的。</p><p>　　同構(gòu)成為統(tǒng)一代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要

58、概念，比同構(gòu)更寬的是同態(tài)概念。在同構(gòu)概念下，“許多”空間可視為同一個(gè)空間。</p><p>　　同構(gòu)的觀念屬于近世代數(shù)的范疇，其實(shí)早在萊布尼茲時(shí)代就提出過“類似”的概念，與同構(gòu)相似。追求統(tǒng)一美不是近代數(shù)學(xué)家開始的。</p><p>　　畢達(dá)哥拉斯時(shí)代把一切統(tǒng)一于數(shù)而且是統(tǒng)一于自然數(shù)，乃至一切起源于“1”。</p><p>　　然而，柏拉圖和隨后的歐幾里得，則以幾何學(xué)

59、為主體統(tǒng)一數(shù)學(xué)。這時(shí)，代數(shù)問題也以幾何形式并用幾何語(yǔ)言表達(dá)，例如，是面積為A的正方形的邊長(zhǎng)，則是長(zhǎng)、寬分別為的矩形面積。這樣，二次代數(shù)方程</p><p>　　求解的問題就都可以用幾何語(yǔ)言來表述，體現(xiàn)出以幾何為主體的統(tǒng)一。</p><p>　　數(shù)學(xué)作為一門具有2600多年發(fā)展史的古老學(xué)科，它似乎本身就具有被統(tǒng)一的特性。然而到20世紀(jì)初，隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，眾多的數(shù)學(xué)分支出現(xiàn)，以至于一個(gè)人要

60、弄清楚全部數(shù)學(xué)的幾分之一也是困難的，甚至同是數(shù)學(xué)家，由于各自朝不同的分支走去，也會(huì)使得彼此之間缺乏了解。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性會(huì)不會(huì)使人懷疑呢？20世紀(jì)的第一年，希爾伯特曾作了有意義的回答。他在舉出了一些例子之后說：“他們已經(jīng)充分顯示今日的數(shù)學(xué)科是何等豐富多彩，何等范圍廣闊！我們面臨著這樣的問題：數(shù)學(xué)會(huì)不會(huì)遭到像其他有些科學(xué)那樣的厄運(yùn)，被分割成許多孤立的分支，它們的代表人物很難互相理解，它們的關(guān)系變得更松懈了？我不相信會(huì)有這樣的情況，也不希望有這

61、樣的情況。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于個(gè)部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬別，我們?nèi)匀磺宄匾庾R(shí)到：在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在概念的親緣關(guān)系，同時(shí)，在它的不同部分之間，也有大量相似之處，我們還注意到，數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加調(diào)和一致，并且，這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間也會(huì)顯露出原先意想不到的關(guān)系。因此，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的有機(jī)特性不會(huì)喪失，</p>&l

62、t;p><b>　　4.數(shù)學(xué)的奇異美</b></p><p>　　奇異美又稱奇特美。對(duì)稱、均勻、統(tǒng)一，這些反應(yīng)數(shù)學(xué)的協(xié)調(diào)、調(diào)和；但如果僅僅是這樣，則數(shù)學(xué)必然顯得單調(diào)，數(shù)學(xué)只有出現(xiàn)奇異，人們認(rèn)識(shí)奇異，尋求新的和諧統(tǒng)一，數(shù)學(xué)才能發(fā)展，因此數(shù)學(xué)這幅圖畫的完整的美無疑還應(yīng)包括它的奇異性。</p><p>　　我們已經(jīng)知道，最早無理數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)的出現(xiàn)，人們感到奇異，不可

63、理解。當(dāng)然，今天沒有人非議了。17世紀(jì)，費(fèi)爾馬曾猜想，所有形如的數(shù)都是素?cái)?shù)。到18世紀(jì)，歐拉指出當(dāng)時(shí)，就不是素?cái)?shù)。這就證明費(fèi)爾馬的猜想錯(cuò)了。至此，人們似乎完全可以忘記形如這一類數(shù)了。但是，1796年竟然出現(xiàn)了一個(gè)奇跡，19歲的高斯證明了正十七邊形可用圓規(guī)和直尺作出，然而17正是！</p><p>　　公元前，人類就會(huì)作正三角形、正五邊形。但是，用圓規(guī)、直尺作正十七邊形、正十一邊形的嘗試都失敗了。1796年高斯作出

64、了正十七邊形，這是多么奇異而令人震驚的大事??！據(jù)說高斯為這一奇異的發(fā)現(xiàn)所鼓舞，而選擇數(shù)學(xué)作為自己的終身職業(yè)。</p><p>　　接著，高斯還證明了這樣奇妙的定理：凡邊數(shù)為費(fèi)爾馬素?cái)?shù)的正多邊形必可用圓規(guī)、直尺作出。當(dāng)邊數(shù)為數(shù)學(xué)而非費(fèi)爾馬素?cái)?shù)時(shí)，這樣的正多邊形不能用圓規(guī)、直尺作出。例如，正七邊形、正十一邊形、正十三邊形等不能用圓規(guī)、直尺作出。</p><p>　　對(duì)于數(shù)學(xué)中的這種奇特性，肯定

65、不只是高斯一個(gè)人感受到其中的美。數(shù)學(xué)的美必定是以真為基礎(chǔ)的。費(fèi)爾馬說形如的數(shù)都是素?cái)?shù)，這是失真了，就此而言，費(fèi)爾馬猜想似乎無美可言，但這種數(shù)卻包含了另一個(gè)令人意向不到的科學(xué)真實(shí)，人們由此獲得的美感更為濃郁。</p><p>　　誰曾料到，公元前4世紀(jì)歐多克斯研究過的黃金分割，到20世紀(jì)50年代被基弗用于優(yōu)選法，黃金分割還蘊(yùn)藏著如此奇異的特性。</p><p>　　誰曾想到，公元前3世紀(jì)阿波

66、羅尼斯研究過的圓錐曲線，會(huì)在兩千年之后倍開普勒用來描述行星的運(yùn)動(dòng)，而太陽(yáng)正處于那曲線的焦點(diǎn)上。</p><p>　　以上是相距遙遠(yuǎn)的呼應(yīng)，從而顯示特殊的奇異色彩。1820年，伽羅華為研究代數(shù)方程求根公式而引進(jìn)群的概念，誰曾料到，一百多年之后物理學(xué)的基本原理可以用群的概念來表示，1826年以后誕生的非歐幾何，又有誰能料到，愛因斯坦竟用它們來創(chuàng)立相對(duì)論學(xué)說。</p><p>　　也沒有誰想到2

67、0世紀(jì)30年代建立的數(shù)理邏輯會(huì)成為后來數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)的基本工具。</p><p>　　統(tǒng)一，協(xié)調(diào)，再加上新奇，這幅美麗的圖畫就會(huì)更加光彩奪目。</p><p>　　當(dāng)人們認(rèn)為一切函數(shù)都是連續(xù)的時(shí)侯，這種奇異性的發(fā)現(xiàn)，反而使人們對(duì)連續(xù)性的美妙看得更加清楚了。</p><p>　　同樣，當(dāng)人們把可微與連續(xù)看做是一回事的時(shí)候，絕不會(huì)感到可微有什么新的特色可供欣賞。然而，當(dāng)處處

68、不可微的連續(xù)函數(shù)呈現(xiàn)在我們面前時(shí)，那是多么令人激動(dòng)不已呵！當(dāng)然，對(duì)于某些看慣了連續(xù)與可微是同一色調(diào)的圖畫的人來說，可能會(huì)有一段時(shí)間對(duì)新的奇異的發(fā)現(xiàn)感到刺眼，但這不是這幅圖畫本身的問題。</p><p>　　牛頓—萊布尼茲積分從一開始直到很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都被認(rèn)為是暢行無阻的。但當(dāng)?shù)依死鬃鞒龊瘮?shù)</p><p>　　原有的積分就失靈了。這種奇異現(xiàn)象給積分帶來新的生機(jī)，人們開始創(chuàng)立新的積分，以解決更

69、廣一類的函數(shù)的積分，且積分問題與測(cè)度問題緊密聯(lián)系在一起。勒貝格測(cè)度產(chǎn)生之后，新的勒貝格積分也產(chǎn)生。正當(dāng)人們感到這種積分的對(duì)象是無所不包的時(shí)候，在勒貝格意義下不可測(cè)的集合被發(fā)現(xiàn)，從而勒貝格積分包羅萬象的格局又被打破。新的積分，如彼隆積分、丹若阿積分又相繼出現(xiàn)。數(shù)學(xué)世界豐富多彩，五光十色，如果沒有了奇異性，那將黯然失色。</p><p>　　我們?cè)吹礁鞣N各樣的奇異點(diǎn)：幾何的、代數(shù)的、分析的；我們還看到各種各樣的奇異

70、解：奇異數(shù)、奇異函數(shù)、奇異級(jí)數(shù)、奇異積分、奇異方程、奇異算子......</p><p>　　對(duì)于代數(shù)方程，二次的有求根公式，三次有求根公式，四次有求根公式，五次時(shí)發(fā)生斷裂了，一般求根公式?jīng)]有了。</p><p>　　對(duì)于歐氏公設(shè)，第一公設(shè)至第四公設(shè)的獨(dú)立性未曾引起注意，第五公設(shè)引起長(zhǎng)時(shí)期的探索，居然發(fā)現(xiàn)將第五公設(shè)改換一下也可以，甚至導(dǎo)致新的幾何學(xué)誕生。</p><p&

71、gt;　　被馬克思譽(yù)為“英國(guó)唯物主義和整個(gè)現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的正真始祖”的弗蘭西斯·培根：“沒有一個(gè)極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異！”數(shù)學(xué)這種“東西”正是調(diào)和中有著許許多多的奇異現(xiàn)象。</p><p>　　至此，我們已經(jīng)看清楚了數(shù)學(xué)的和諧性（簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一、對(duì)稱等）與奇異性的辯證關(guān)系。</p><p>　　奇異性的出現(xiàn)，似乎是對(duì)和諧性的沖擊。但是，隨著人的認(rèn)識(shí)深化，新的更高層次的和諧被

72、發(fā)現(xiàn)，奇異的色彩被糅合到更美的和諧中去了。也許，新的奇異又將出現(xiàn)，再達(dá)到新的和諧境地，如此循壞往復(fù)，以至美不勝收，美妙無比。</p><p>　　三、數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用</p><p>　　數(shù)學(xué)課程改革特別強(qiáng)調(diào)要改變傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)觀和中學(xué)數(shù)學(xué)教育觀，要用新的數(shù)學(xué)觀來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和用新的數(shù)學(xué)教育觀來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的開展。數(shù)學(xué)觀的一個(gè)重要方面就

73、是數(shù)學(xué)是一種文化，它有豐富的人文價(jià)值和美學(xué)價(jià)值。數(shù)學(xué)教育觀的要求之一是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要和數(shù)學(xué)的審美結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，又是對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞過程。</p><p>　　在社會(huì)生活中，人們通過自然美、社會(huì)美、科學(xué)美的途徑可以美化精神。美育對(duì)使學(xué)生樹立正確的審美觀,提高學(xué)生的審美能力，塑造學(xué)生完善的人格，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展,都起著非常重要和積極的作用。數(shù)學(xué)美的作用，主要體現(xiàn)在下面幾個(gè)方面:&

74、lt;/p><p>　　（一）數(shù)學(xué)美是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的源泉</p><p>　　興趣是思維的動(dòng)因,是強(qiáng)烈而又持久的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。沒有絲毫興趣的強(qiáng)制性學(xué)習(xí),將會(huì)扼殺學(xué)生探求真理的欲望，只有學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，才能產(chǎn)生積極持久的學(xué)習(xí)動(dòng)力。因此,教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘中學(xué)數(shù)學(xué)教材的美學(xué)因素,應(yīng)把數(shù)學(xué)教學(xué)組織成發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，鑒賞數(shù)學(xué)美，創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的過程,運(yùn)用數(shù)學(xué)美引起學(xué)生深厚的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生只有在數(shù)學(xué)美學(xué)方法中才能體會(huì)到

75、數(shù)學(xué)的魅力不僅在于形式的簡(jiǎn)潔，和諧與優(yōu)美，更在于嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)和邏輯推理。數(shù)學(xué)美的這種強(qiáng)烈感染力，能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。</p><p>　　（二）數(shù)學(xué)美能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和獨(dú)創(chuàng)精神</p><p>　　正如著名科學(xué)家錢學(xué)森教授所說：“美是主觀實(shí)踐與客觀實(shí)際交互作用以后的主觀和客觀的統(tǒng)一。假如做到了這一點(diǎn),那么人就感到是美的,而這種相互作用是通過思維來實(shí)施的。所以，研究美學(xué)對(duì)思維科學(xué)

76、是有啟發(fā)的,而思維科學(xué)的成就也會(huì)有助于美學(xué)的研究?！睌?shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在動(dòng)力，方法，思維等方面都有巨大的作用，所以研究數(shù)學(xué)美是十分必要的。</p><p>　　使學(xué)生具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)具有獨(dú)特的美,可以促使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，老師可以指引學(xué)生按照“美”的思想方法去探索“真”的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美，欣賞數(shù)學(xué)美，運(yùn)用數(shù)學(xué)美，發(fā)展數(shù)學(xué)美。<

77、/p><p>　?。ㄈ?shù)學(xué)美有助于提高學(xué)生的思維水平</p><p>　　數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)思維有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)審美教學(xué)有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維。數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的關(guān)鍵在于選擇數(shù)學(xué)觀念間的“最佳組合”，這種“最佳組合”往往是依靠美的直覺作出的。另一方面，數(shù)學(xué)美所具有的特征也是數(shù)學(xué)觀念間的“最佳組合”。因而正如錢學(xué)森教授所說,人們的審美與數(shù)學(xué)的直覺思維在數(shù)學(xué)美的基礎(chǔ)上是統(tǒng)一的。審美和數(shù)學(xué)的直覺思

78、維在追求數(shù)學(xué)真理的功能上是統(tǒng)一的。因此，審美與數(shù)學(xué)直覺思維在生理機(jī)制上也是一致的。數(shù)學(xué)審美教學(xué)也有助于發(fā)展學(xué)生的形象思維。形象思維是借助于圖形或表象為支柱的思維。數(shù)學(xué)美具有形象性的特征。如一個(gè)處處對(duì)稱的圓，等邊三角形，平行線，符合黃金分割的矩形，都是優(yōu)美的圖形，有著明顯的形象性。數(shù)形結(jié)合的解析幾何，給人們以動(dòng)態(tài)的優(yōu)美的形象等。</p><p>　　另外，數(shù)學(xué)審美教學(xué)還可以培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維能力，發(fā)散思維能力，從而

79、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。在學(xué)習(xí)過程中，出于數(shù)學(xué)美的考慮將數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，對(duì)稱美與問題的條件或結(jié)論相結(jié)合，然后在從知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)美的引導(dǎo)，可以找到解決問題的突破口，使問題得到完美解決。于是美的啟示就能大大促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，幫助學(xué)生提高分析解決問題的能力，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)美的作用，從而使課堂展現(xiàn)出更強(qiáng)的活力和魅力。</p><p>　?。ㄋ模├脭?shù)學(xué)美陶冶學(xué)生的思想情操</p><p>　　

80、數(shù)學(xué)美的研究是一個(gè)時(shí)時(shí)探索又時(shí)有新意的課題，對(duì)數(shù)學(xué)美的深入和全面的認(rèn)識(shí)，無論是改善中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，還是促進(jìn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造、發(fā)明都有重要的意義。研究數(shù)學(xué)美，旨在比較、借鑒前人的研究成果的基礎(chǔ)上，提出數(shù)學(xué)審美教學(xué)的策略并結(jié)合教學(xué)實(shí)際探索，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪學(xué)生的思維活動(dòng)，并幫助學(xué)生深化理解數(shù)學(xué)知識(shí),陶冶思想情操。因此，數(shù)學(xué)的審美教育具有潛在的思想教育功能。通過數(shù)學(xué)思想和精神提升人的精神生活，培養(yǎng)既有健全的人格，又有生活技能，明確生活

81、目標(biāo)的人。數(shù)學(xué)美是美的高級(jí)形式，但是青少年受閱歷、知識(shí)的局限，還不具備足夠的知識(shí)素養(yǎng)，不可能輕易地感受和意識(shí)到。這就需要教育工作者要不斷提高自身的專業(yè)知識(shí)水平和美學(xué)修養(yǎng)，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美感的直覺，引導(dǎo)學(xué)生按照美的規(guī)律去發(fā)現(xiàn)美、感受美、鑒賞美,進(jìn)行審美教育，提高審美能力，培養(yǎng)審美意識(shí)。通過情感教育培養(yǎng)學(xué)生以自己的知、意、情去追求客觀世界的真、善、美，培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和形成他們正確的人生觀、完美的世界觀。</p>

82、<p>　　在講課過程中，可以向?qū)W生介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的的歷史故事。例如，著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)對(duì)數(shù)學(xué)的著迷，不論吃飯，睡覺，白天，黑夜都不停的在思考數(shù)學(xué)問題，就是在文革時(shí)期，沒有桌椅，沒有稿紙，沒有電燈的情況下，還仍然拼命學(xué)習(xí)。當(dāng)然這不是要學(xué)生從形式上去模仿陳景潤(rùn)，而是學(xué)習(xí)他執(zhí)著的學(xué)習(xí)的精神，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育。通過數(shù)學(xué)美的鑒賞和創(chuàng)造可以培養(yǎng)學(xué)生高尚的審美情趣,陶冶學(xué)生的思想情操。</p><p>　

83、　總之，以上足以說明數(shù)學(xué)美的因素?zé)o論對(duì)于數(shù)學(xué)教師的“教”，還是對(duì)于學(xué)生們的“學(xué)”，無疑都是極其重要、有意義的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要更多的挖掘出教材中的美學(xué)因素，使學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，活躍數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生分析解決數(shù)學(xué)問題的能力。</p><p>　　四、中學(xué)數(shù)學(xué)審美教育</p><p>　　審美能力的培養(yǎng)，即培養(yǎng)學(xué)生正確的審美觀點(diǎn)，發(fā)展他們感受美、鑒賞美和創(chuàng)造美的能力的教育。其基本任務(wù)包括：

84、培養(yǎng)學(xué)生正確的審美觀點(diǎn)，使他們具有感受美、鑒賞美和創(chuàng)造美的能力的知識(shí)和能力；培養(yǎng)學(xué)生藝術(shù)活動(dòng)的技能，發(fā)展他們體現(xiàn)和創(chuàng)造美的能力；培養(yǎng)學(xué)生美好心靈和行為，使他們?cè)谏钪畜w現(xiàn)內(nèi)在美與外在美的統(tǒng)一。</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學(xué)教育中培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美能力的依據(jù)</p><p>　　學(xué)校教育的目的應(yīng)該包含兩個(gè)基本方面，一個(gè)是傳授知識(shí)，一個(gè)是培養(yǎng)能力。對(duì)此，我們可以對(duì)我國(guó)教育目的進(jìn)行簡(jiǎn)單的歷史回顧：&

85、lt;/p><p>　　1982年，《中華人民共和國(guó)憲法》規(guī)定：“國(guó)家培養(yǎng)青年、少年、兒童在品德、智力、體質(zhì)等方面全面發(fā)展。</p><p>　　1986年，《中華人民共和國(guó)義務(wù)教育法》規(guī)定：“義務(wù)教育必須貫徹國(guó)家的教育方針，努力提高教育質(zhì)量，使兒童、少年在品德、智力、體質(zhì)等方面全面發(fā)展，為提高全民族素質(zhì)，培養(yǎng)有理想有道德、有文化、有紀(jì)律的社會(huì)主義的建設(shè)人才奠定基礎(chǔ)?！?lt;/p>

86、<p>　　1995年，《中華人民共和國(guó)教育法》規(guī)定：“教育必須為社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)服務(wù)，必須與生產(chǎn)勞動(dòng)相結(jié)合，培養(yǎng)德、智、體等全面發(fā)展的社會(huì)主義事業(yè)的建設(shè)者和接班人?！?lt;/p><p>　　1999年，《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育決定》把教育目的表述為“以提高國(guó)民素質(zhì)為根本宗旨，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)，造就“有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律”的、德智體美等全面發(fā)展的社會(huì)

87、主義事業(yè)建設(shè)者和接班人”。</p><p>　　2010年7月頒布的《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》強(qiáng)調(diào)：“促進(jìn)德育、智育、體育、美育有機(jī)融合，提高學(xué)生綜合素質(zhì)，使學(xué)生成為德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。</p><p>　　通過上面的歷史回顧，可以發(fā)現(xiàn)我國(guó)在1999年前，教育目的中并沒有提出“美育”的要求，而到2010年，我國(guó)在《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)

88、展規(guī)劃綱要（2010—2020）》中明確提出“美育”的要求。由此可見，“美育”對(duì)我們?nèi)缃竦慕逃@得尤為重要。數(shù)學(xué)教育作為我國(guó)學(xué)校教育的重要內(nèi)容，當(dāng)然應(yīng)該按照我國(guó)法律規(guī)定的內(nèi)容去實(shí)施。在教育過程中，除了知識(shí)的傳授之外，更應(yīng)該注重審美和創(chuàng)造美的能力的培養(yǎng)。對(duì)于數(shù)學(xué)美育的內(nèi)容已在前文中闡述過，為此，下面我講主要闡述，在數(shù)學(xué)教育中如何進(jìn)行“美育”——數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng)。</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng)<

89、;/p><p>　　1.提高數(shù)學(xué)教師的美學(xué)修養(yǎng)</p><p>　　數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)美必須有強(qiáng)烈的感受，才能在數(shù)學(xué)中自覺進(jìn)行審美教育，培養(yǎng)學(xué)生的審美能力。目前大多數(shù)數(shù)學(xué)教師缺乏系統(tǒng)的美育訓(xùn)練，數(shù)學(xué)審美能力不強(qiáng)，缺乏審美意識(shí)，習(xí)慣抽象思維和邏輯推理，不善于形象思維和運(yùn)用無概念的情感邏輯(包括生動(dòng)的類比、豐富的想象和合理的假設(shè)等)。因而把數(shù)學(xué)課講得單調(diào)乏味，毫無數(shù)學(xué)美感可言。提高教師的教學(xué)藝術(shù)，讓教

90、師不僅有數(shù)學(xué)美的鑒賞力，還能設(shè)計(jì)優(yōu)美的數(shù)學(xué)問題，繪制精美的數(shù)學(xué)圖形，尋找優(yōu)美的解題方法，使用精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。只有這樣才能將抽象的數(shù)學(xué)理性形式中所包含的豐富的美學(xué)內(nèi)容揭示出來并展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生在五彩繽紛的數(shù)學(xué)奇境的漫游中，充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美，受到良好的數(shù)學(xué)審美教育和提高自己的審美能力。</p><p>　　2.挖掘教材中潛在的美學(xué)因素</p><p>　　挖掘教材中潛在的美學(xué)因素，使學(xué)生

91、自覺認(rèn)識(shí)什么是數(shù)學(xué)美，這是培養(yǎng)學(xué)生審美能力的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)教材中有許許多多潛在的美學(xué)因素，例如，數(shù)學(xué)歸納法的和諧統(tǒng)一美，反證法與反例的奇異美，代換法的簡(jiǎn)潔明快美，數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)單美，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精煉美，數(shù)學(xué)推理的完全美，數(shù)學(xué)定理的和諧美，數(shù)學(xué)構(gòu)思的創(chuàng)新美等等。所有這一切教師都應(yīng)當(dāng)加以挖掘，并用自己的審美活動(dòng)與審美觀去啟發(fā)學(xué)生的審美意識(shí)，去誼染學(xué)生的審美心境，使學(xué)生在美的熏陶下去領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)美的含義,培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)審美能力。</p>&

92、lt;p>　　3.數(shù)學(xué)教學(xué)中要為學(xué)生提供創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)</p><p>　　數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，不僅要有教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)，也要有學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)。學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)很多，例如，教學(xué)中要求學(xué)生繪制標(biāo)準(zhǔn)的圖形，編制合格的圖表，制作精美的模型和教具，改進(jìn)一證明方法，壓縮證明過程，提出數(shù)學(xué)反駁，提出數(shù)學(xué)猜想等等。原則上在任何類型的數(shù)學(xué)課教學(xué)中，都存在學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)，但尤以采用“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)和解題教學(xué)機(jī)

93、緣最好。發(fā)現(xiàn)法為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的機(jī)會(huì)，而在解題教學(xué)中，學(xué)生可以進(jìn)行多種形式的創(chuàng)造美活動(dòng)，其中最能激起學(xué)生創(chuàng)美興趣的是按審美原則去鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)最優(yōu)解題方案和問題的最佳解答。因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生精心選擇題目，明確解題的審美要求。啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)探索，直到作出有創(chuàng)美特征的解答來。在這里要防止學(xué)生僵硬的解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)創(chuàng)造性思維的阻礙和對(duì)追求數(shù)學(xué)美的活動(dòng)的禁錮，注意鼓勵(lì)他們多向思維,努力尋找有美學(xué)特征的創(chuàng)造性解答

94、。</p><p>　　4.教師要有培養(yǎng)學(xué)生審美能力的熱情和耐心</p><p>　　教學(xué)是一種艱苦的勞動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的審美能力也是一種艱苦的勞動(dòng)，而且是一種艱苦的創(chuàng)造性勞動(dòng)。它不僅需要教師的智慧，還需要教師的熱情和對(duì)教育事業(yè)的執(zhí)著追求。只有熱愛學(xué)生的老師才能肥自己對(duì)學(xué)生的摯愛與對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞力和熱愛之情傾注到教學(xué)之中，在課堂上創(chuàng)造出一種師生間和諧交往的氣氛，達(dá)到“以知識(shí)激學(xué)，以情激學(xué)，以美

95、激學(xué)”的境界，把教學(xué)過程變成為既是一個(gè)傳受知識(shí)的過程，又是一個(gè)審美教育的過程，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)美，品嘗數(shù)學(xué)美和追求數(shù)學(xué)美。</p><p>　?。ㄈ?shù)學(xué)美學(xué)方法與中學(xué)數(shù)學(xué)</p><p>　　人們對(duì)大數(shù)學(xué)家龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）的論述有很高的評(píng)價(jià)，龐加萊認(rèn)為：數(shù)學(xué)創(chuàng)造的本質(zhì)就是在已知的數(shù)學(xué)事實(shí)所可能造成的新組合之中做出正確的選擇；由于從已有的概念、圖像、變換、結(jié)構(gòu)等出發(fā)可以構(gòu)造出不計(jì)其

96、數(shù)的新組合，而其中的大多數(shù)的卻是無用的，而且人們也不可能實(shí)際地去構(gòu)造出每一個(gè)可能的組合，并逐一去檢查它們是否有價(jià)值，因此，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)就在于作出正確的選擇，而正確選擇的基礎(chǔ)在于直覺。龐加萊還認(rèn)為：直覺是一種無意識(shí)的思維活動(dòng)，在這種無意識(shí)的思維活動(dòng)中，審美情感發(fā)揮著選擇作用，所以選擇的直覺經(jīng)常表現(xiàn)為美的直覺。</p><p>　　這里所說的數(shù)學(xué)美學(xué)方法，就是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中可以自覺地運(yùn)用美學(xué)的思考去決定可能的

97、研究方向或?qū)?shù)學(xué)問題的解決作出判斷。與龐加萊關(guān)于審美感與無意識(shí)狀態(tài)下的作用相同。這里所說的美學(xué)方法其主要功能也是一種選擇的作用，而且是一種自覺的應(yīng)用。</p><p>　　1.數(shù)學(xué)美學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用</p><p>　　例1.已知半徑為的圓上有兩點(diǎn)，試確定當(dāng)點(diǎn)位于圓上何處時(shí)，取最大值，并求出最大值。</p><p>　　分析：由于圓是對(duì)稱圖形，美的直覺啟

98、示我們，當(dāng)點(diǎn)位于優(yōu)弧的中</p><p><b>　　點(diǎn)時(shí),將最大。</b></p><p><b>　　解：如圖4-1所示</b></p><p>　　設(shè)分別是弧與弧上任一點(diǎn)， </p><p><b>　　，，，</b></p><p&g

99、t;<b>　　圖4-1</b></p><p>　　顯然，當(dāng)點(diǎn) C 在優(yōu)弧上移動(dòng)時(shí)，的大小不變。故要使 S 最大只需最大，即也最大，這時(shí)點(diǎn)C應(yīng)位于弧的中點(diǎn)。</p><p>　　在中，根據(jù)正弦定理得：，故 </p><p><b>　　例2.化簡(jiǎn)</b></p><p>　　分

100、析：上式本身存在著一種和諧美，四個(gè)余切值排列整齊，角度逐漸增大， 每 </p><p>　　次增加，且首末兩項(xiàng)以及中間兩項(xiàng)角度之和為，因此化簡(jiǎn)時(shí)，必須利用這種和諧關(guān)系，而采用重新組合的解題策略。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　例3.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 （ ）

101、</p><p>　　A.1024 B.512 C.8 D.1</p><p><b>　　解：令</b></p><p>　　本題實(shí)際是求，只要令，故選（D）。這是運(yùn)用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美。</p><p>　　例4.在等差數(shù)列中，，則為 （ ）</p&

102、gt;<p>　　A.200 B.75 C.30 D.100</p><p>　　解：因?yàn)?，所以，，故選（D）。這里，通過觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)系，這是數(shù)學(xué)的對(duì)稱美的運(yùn)用。</p><p>　　例5.已知為有理函數(shù)，且，則</p><p>　　等于 （

103、 ）</p><p>　　A. B. C. D.</p><p>　　解：由于的次數(shù)不低于2次，所以的次數(shù)不低于4次，故選（C）。</p><p>　　例6.在已知，求證：</p><p>　　解：左邊為邊的關(guān)系，右邊為角的關(guān)系，顯然左右兩邊不協(xié)調(diào)、不和諧，為此,我們將設(shè)法將右邊化為左邊（統(tǒng)一為邊與

104、邊的關(guān)系），或?qū)⒆筮吇癁橛疫叄ńy(tǒng)一為角與角的關(guān)系），而這是不難辦到的，即</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　這就完成了證明。</b></p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　我們?cè)诹私饬藬?shù)學(xué)美的內(nèi)涵，并掌握了在解題過程中感

105、知數(shù)學(xué)美的基本方法后，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)美有了一個(gè)客觀的認(rèn)識(shí)。我們?cè)诮鉀Q實(shí)際數(shù)學(xué)問題過程中就有可能會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的美學(xué)方法。下面就通過怎樣的途徑運(yùn)用數(shù)學(xué)美解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行總結(jié)：</p><p>　?。?）利用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，尋求最佳解法</p><p>　　簡(jiǎn)潔美是數(shù)學(xué)美的主要特征之一，它說明了數(shù)學(xué)總是追求邏輯的簡(jiǎn)潔，推理的簡(jiǎn)捷及解答的簡(jiǎn)明。很多數(shù)學(xué)問題表面上看比較復(fù)雜，但其內(nèi)核往往都存在著簡(jiǎn)單的一面

106、，一般情況下我們都能夠用簡(jiǎn)潔的方法對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例如對(duì)一些文字性的數(shù)學(xué)難題，我們可以在充分把握題目的情況下作出圖形，借助圖形的直觀性來解題。對(duì)一些數(shù)學(xué)難題可從反面著手，換一種角度找尋突破口。</p><p>　?。?） 利用數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一美，啟迪解題思路</p><p>　　數(shù)學(xué)是一種具有統(tǒng)一美的學(xué)科，古希臘的數(shù)學(xué)融代數(shù)、幾何、算術(shù)于一體，是古代數(shù)學(xué)統(tǒng)一的代表?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支的

107、界限日趨模糊，各分支的交叉越來越廣泛和深入，這都說明了數(shù)學(xué)具有統(tǒng)一性。當(dāng)我們要解決和諧性數(shù)學(xué)難題時(shí)，可以利用數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，來啟迪思路。例如，當(dāng)遇到讓用多種方法證明一個(gè)命題時(shí)，就可以從數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美出發(fā)，從幾何、代數(shù)等多種數(shù)學(xué)分支加以考慮。</p><p>　?。?）利用數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，獲取解題思路</p><p>　　對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的外在特征，在數(shù)學(xué)題目中，數(shù)與形的對(duì)稱現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)，有的是形象

108、的，有的則是抽象的。在解決數(shù)學(xué)難題的程中，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)用對(duì)稱的眼光去分析問題，并利用數(shù)字或圖形的對(duì)稱獲得解題思路。實(shí)踐證明，對(duì)稱性的有效利用，可以使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單有條理，往往能起到事半功倍的效果。</p><p>　?。?）利用數(shù)學(xué)的奇異美，尋找突破口</p><p>　　在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的一些奇思妙想，有時(shí)不僅有效而且還能讓人贊嘆不已，這就是數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力。某些數(shù)學(xué)問題，若進(jìn)行奇異的