數(shù)學畢業(yè)論文---分類討論在中學數(shù)學中的應用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　論文（設計）題目：分類討論在中學數(shù)學中的應用</p><p>　　2013 年 5 月 5 日</p><p>　系：數(shù)學系</p><p>　專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>　班 級：</p><p>　

2、學 號：</p><p>　學生姓名：</p><p>　指導教師：</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　目 錄 ··············

3、83;····································&

4、#183;···············I </p><p>　　中文摘要·············

5、83;····································&

6、#183;··············Ⅱ</p><p>　　外文摘要·················&

7、#183;····································

8、;···········Ⅲ</p><p>　　第一章 分類討論思想方法的概念···················

9、··························1</p><p>　　第二章 分類討論思想方法的基本特點····

10、;····································

11、83;3</p><p>　　2.1分類討論的思想有著較強的邏輯性·····························&

12、#183;······3</p><p>　　2.2 分類思想的本質(zhì)特征·······················

13、3;·······················3</p><p>　　2.3運用分類討論的思想解題的基本步驟······&

14、#183;···························3</p><p>　　2.4 掌握討論的對象和討論的本質(zhì)··

15、····································

16、3;3</p><p>　　2.5 分類討論思想的類型······························&

17、#183;················4</p><p>　　第三章 分類討論思想方法的意義和實踐·············

18、;··························6</p><p>　　3.1 滲透分類思想·····

19、;····································

20、83;···········6</p><p>　　3.2學習分類方法···················

21、3;·································6</p><p&g

22、t;　　3.3分類討論思想的前景··································

23、··············6 </p><p>　　3.4分類討論思想方法的實踐················&

24、#183;··························7</p><p>　　參考文獻·····&

25、#183;····································

26、;·······················11</p><p>　　致 謝········

27、83;····································&

28、#183;····················12</p><p>　　分類討論在中學數(shù)學中的應用</p><p><b>　　摘 要</b></p>

29、<p>　　今天，無論在實際生活中還是在理論的學習中，分類討論的思想都有著巨大的作用和意義。本文主要講述分類討論思想在中學數(shù)學領域的重要性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：分類討論;思想方法;價值 </p><p>　　Classification discussion deals with the application of mathematics in middle s

30、chool</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Today, classification discussion thought have a huge role and significance whether in real life or in the theory study. This paper tells that

31、classification discussion have an importance of the middle school mathematics.</p><p>　　Keywords: the classification discussion; thinking method; value</p><p>　　第一章 分類討論思想方法的概念</p><p&

32、gt;　　我們生活的宇宙空間有豐富多彩的動物、植物和微生物等，起初這些紛紜復雜的事物都是雜亂無章的混在一起。沒有分門別類，隨著人類社會的進步和人類文明的發(fā)展，根據(jù)事物不同性質(zhì)和不同屬性的逐漸將它們分開來，到今天日趨完善。物以類聚，人以群分。分類討論思想是指在解決一個問題時，無法采用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決,這就是分類討論思想。那什么是分類呢？

33、現(xiàn)在我們來給“分類”下一個具體的定義。顧名思義“分類”就是分門別類,也就是說，當我們所研究的各種對象之間過于復雜或涉及范圍比較廣泛時，為了使研究的結(jié)論更加明確和討論更為完整我們大多采取分類討論的方法進行解決，即對問題中可能出現(xiàn)的各種情況進行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M行分割，然后分別研究和求解[1]。比如說“聯(lián)系”這個詞語有不同的分類，有抽象聯(lián)系和具體聯(lián)系，偶然聯(lián)系和必然聯(lián)系，本質(zhì)聯(lián)系和非本質(zhì)聯(lián)系及內(nèi)部聯(lián)系和外部聯(lián)系等等，這就是我們所討論的

34、思想方法。</p><p>　　在二十一世紀的今天，隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展和人們生活水平的顯著提高以及社會對高素質(zhì)人才的需求。 作為新時期的青年，我們應該懷著一顆勇于拼搏的心，認真的學習，遇到問題，盡量多角度、多方面的去分析，做到合情合理，合乎實際。敢于挑戰(zhàn)問題，分析問題，善于開動腦筋，發(fā)散思維。把每一門功課都學好，為自己謀生存，為社會謀發(fā)展，為國家作貢獻。真正成為新時期的接班人和中流砥柱。</p>

35、<p>　　作為中學生，他們的人生觀和世界觀都成跳躍式的發(fā)展，他們對社會的看法有自己的個人看法，但是這些看法都不穩(wěn)定，容易環(huán)境和情緒的影響，對國家的大政方針都有自己個人的看法和想法，但他們的想法和看法標新立異，也不穩(wěn)定。不會理性的去分析問題、理解問題和思考問題，正處于青少年期的他們思維活躍，這個時候?qū)λ麄儑栏竦呐囵B(yǎng)，給他們指明正確的發(fā)展方向。對他們加強思想道德教育和科學文化教育，培養(yǎng)他們形成正確的人生觀、世界觀和價值觀，培養(yǎng)

36、德、智、體、美全面發(fā)展的社會主建設者</p><p>　　和接班人，培養(yǎng)社會需要的復合型人才[2]。</p><p>　　例1：集合的分類，根據(jù)集合中元素的多少、有無元素可以把集合分為有限集、無限集和空集。</p><p>　　有限集：在一個集合中元素的個數(shù)是有限的,例如:集合A={1,2，5，7,89,100}，該集合中有6個元素；</p><

37、p>　　無限集：也就是集合中的元素是無限的，例如:B={1,2,3，...n,n+1,...,n+k+1,...,k=z},該集合中元素是無窮多個；</p><p>　　空集：在一個集合中沒有任何元素,例如：C集合等于空集，該集合中沒有任何元素；</p><p>　　例2：集合的表示方法可以分為列舉法、描述法和韋恩圖法；</p><p><b>　　

38、例3：對于當即</b></p><p>　　所以當，即所以。</p><p>　　第二章 分類討論的思想方法的基本特點</p><p>　　2.1分類討論的思想有著較強的邏輯性</p><p>　?。?）分類討論問題一般涵蓋知識點較多，有利于對學生知識面的考察。一方面可以拓展學生的聯(lián)想思維能力，讓學生根據(jù)已知條件去探

39、索與解題相關(guān)的以前學過的數(shù)學方法和數(shù)學思路，從而得到問題的解決。另一方面可以拓展學生們的實踐創(chuàng)新能力和發(fā)散思維的能力，從而提高提高他們的綜合實踐能力[3]。</p><p>　　（2）解決分類討論問題，需要學生具有一定的分析能力和分類技巧。這里需要學生在掌握一定基本知識的前提下，學會將學過的知識和已有的知識進行分析綜合，從而加以創(chuàng)新，使得整個問題全面解決。</p><p>　?。?）分類討

40、論的思想與生產(chǎn)實踐和高等數(shù)學都緊密相關(guān)．</p><p>　　2.2 分類思想的本質(zhì)特征</p><p>　　分類討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設條件的解題策略．也就是分析討論綜合的過程，從而達到目標問題的解決。</p><p>　　2.3運用分類討論的思想解題的基本步驟</p><p>　?。?）找準研究的對象與范圍

41、；</p><p>　?。?）根據(jù)研究的對象進行合情合理的討論分類。在討論時。特別注意的是：分類時需要做到不重復、不遺漏）；</p><p>　?。?）從前到后的進行研究：換句話說，也就是對各類研究問題詳細分析討論，逐步進行解決；</p><p>　?。?）綜合歸納每一個討論對象，最終得出完整的結(jié)論和目標．</p><p>　　2.4 掌握討

42、論的對象和討論的本質(zhì)</p><p>　　根據(jù)立體幾何圖形中相關(guān)點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論，含參數(shù)的問題解答過程中，由參數(shù)的變化引起的分類討論：比如某些參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或分析方法，其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論，如解析幾何中橢圓、雙曲線和拋物線；函數(shù)中的三角函數(shù)、二次函數(shù)和高次函數(shù)的討論中；導數(shù)中的含參變量問題的解決等等。</p>

43、<p>　　2.5 分類討論思想的類型</p><p>　?。?）在一個問題中有的問題需要討論，這類問題沒有明確指出討論的方向，但根據(jù)我們已有的知識和經(jīng)驗它需要討論。例如開算是平方根、分母不能為零和對數(shù)函數(shù)中真數(shù)和底數(shù)的問題等，有些問題明顯給出了討論的范圍和方向，比如含參變量的二次函數(shù)、含參變量的不等式和含參變量方程根的問題。</p><p>　?。?）題目中的條件是分類給出

44、的，這只需要我們就每一類問題分別討論，得出正確的方案，在將這些討論的結(jié)果進行綜合整理得出最終的結(jié)果。在解決這類題目時有一個要求，也就是解題過程不能統(tǒng)一敘述，每個小問題必須分類討論，特別注意的是，當涉及幾何相關(guān)問題的解答和討論時，我們必須依據(jù)幾何圖形的形狀、幾何圖形的位置及位置變化，嚴格需要分類討論的也不能籠統(tǒng)的討論，首先必須將每一個問題分別進行討論后，.得出每一個小結(jié)論，然后將這些小結(jié)論分析、整理與綜合，得出目標討論[4]。</p

45、><p>　?。?）特別注意的是我們在解答涉及分類討論相關(guān)題目時一定要多角度、多方面的去挖掘題目的已知條件，找出討論的切入點和落腳點，以便于有依據(jù)、合情合理的去分析題目，比如在一個含未知數(shù)的函數(shù)中，這個式子里包含對數(shù)、根式和絕對值等式子，我們要求該函數(shù)的值域時，我們就要多角度的去分析這個式子，首先就要求出這個函數(shù)的定義域，這里面分三個方面來討論該含數(shù)的定義域（被開方數(shù)必須大于等于零；對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零；絕對值大于等

46、于零），然后根據(jù)每一類的定義域的取值情況來加以分析和綜合，最終得出原函數(shù)的定義域，最后根據(jù)原函數(shù)的定義域來討論原函數(shù)的值域，因此針對這類題目的解答，學生不僅要有夯實的基本知識和技能，而且要有緊湊的思維邏輯和耐心的態(tài)度，還要保持清晰的頭腦，才能一步一個腳印的完成這道題目。得出最終的正確答案。</p><p>　　例1：最新的行業(yè)分類。有保險業(yè)　采礦,能源　餐飲，賓館　電訊業(yè)　房地產(chǎn)　服務行業(yè)　服裝業(yè)　公益組織　廣告

47、業(yè)　航空航天　化學，化工　健康，保健 建筑業(yè) 教育，培訓　計算機　金屬冶煉　警察，消防　軍人　會計　美容，形體　媒體，出版　木材，造紙　零售，批發(fā)　農(nóng)業(yè)　旅游業(yè)　司法，律師　司機　體育運動　學術(shù)研究　演藝娛樂　醫(yī)療服務　藝術(shù)，設計　銀行，金融　因特網(wǎng)　音樂舞蹈　郵政快遞　運輸業(yè)　政府機關(guān)　機械制造　咨詢服務；</p><p>　　例2：三角形的不同分類，按三角形的形狀可將三角形分為等腰三角形、等邊三角形和斜三

48、角形；按三角形的度數(shù)來分可將三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。</p><p>　　例3：數(shù)列的分類，數(shù)列可以分為等差數(shù)列與等比數(shù)列之分、有限數(shù)列與無限數(shù)列之分和遞增數(shù)列與遞減數(shù)列之分。在數(shù)列中，，其中λ＞0．求數(shù)列的前n項</p><p><b>　　解：　由，，可得</b></p><p>　　，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項

49、為0，</p><p>　　故，所以數(shù)列的通項公式為．</p><p><b>　　設，　?、?lt;/b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　這時數(shù)列的前項和當時，．這時數(shù)列的前項 </p><p>　　第三章 分類討論思想方法的意義和作用</p

50、><p>　　隨著科學技術(shù)的發(fā)展和人們生活水平的顯著提高以及對高素質(zhì)人才的需求。 推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀的合格人才，使學生具有創(chuàng)新意識，發(fā)散思維的意識，在創(chuàng)造中學會學習，教育應更多的關(guān)注指引學生的學習方法和策略。</p><p>　　3.1 養(yǎng)成分類的意識</p><p>　　我們每個人不管是在生活中還是在學習中以及工作中都具備一些基本的分類常識和分類知識，例如動

51、物、人群及文具的分類等，而作為學生也必須具備一些分類知識。我們利用學生的這一認識基礎，將豐富多彩的生活中的分類遷移到理論的數(shù)學中來[5]。在教育教學中對學生進行數(shù)學分類思想的灌輸和培養(yǎng)，深挖課本提供的資源和知識，靈活掌握灌輸?shù)姆绞胶头椒?。比如絕對值的意義，數(shù)的分類，立體幾何的證明等這些都是灌輸著分類思想的很好環(huán)境和機會。我們在這方面一定要做好分類的準備，培養(yǎng)養(yǎng)成分類的意識，有助于在以后的學習和生活中分析事物、理解問題。</p>

52、;<p>　　3.2增強思維的縝密性</p><p>　　思維的縝密性也就是說一個人在分析問題、思考問題的邏輯緊湊性，作為學生，特別是初、高中的學生，他們的人生觀和世界觀都處于蓬勃形成時期。他們對不同的人，不同的事都充滿熱情，有自己獨特的看法和見解。因此這個階段向他們滲透分類討論的意識，培養(yǎng)分類討論的思想方法，增強他們分析問題、處理問題的思維縝密性[6]。要讓他們知道應，我們所講的分類就是選選定合適

53、的標準，根據(jù)討論對象的基本特點，不重復、不遺漏地將討論的問題分為若干類，然后對每一個小問題分別討論和解決。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。通過在這個時期對他們解題的培養(yǎng)。為今后進一步的學習和深造打下夯實的基礎?？b密的思維為他們的學習、生活及人際交往提供良好的知識背景。</p><p>　　3.3分類討論思想的應用前景</p><p>　　今天，在現(xiàn)實生活中，分類討論思想主要表

54、現(xiàn)在在很多經(jīng)營條件良好和管理水平先進的公司或工廠等都要將不同性質(zhì)和不同特性的產(chǎn)品分門別類，又要將相同性質(zhì)或相似材料的產(chǎn)品放置在一起，在機關(guān)單位或銀行等許多領域都需要把資料歸類和整理。在工程上，設計師需要把整棟樓房大圖樣從不同的角度去分成相關(guān)的小圖樣，然后又將這些小圖樣拼湊成完整的樓房摸樣，的由上述幾類問題可知，分類思想貫穿于生活的方方面面[7]。我們這里主要將一些理論上的東西，具體上說，分類討論思想在中學學習領域關(guān)于解題的基本思想和作用

55、。</p><p>　　3.4分類討論思想方法的實踐</p><p>　　例1：求不等式 的解集是 (A) (B) (C) (D)x∣ </p><p>　　首先分析：要讓使不等式有意義的的范圍是即與．題設不等式的左邊為兩項，其中一項為二次算術(shù)根式，另一項是帶絕對值的分式。宜先分類討論去掉絕對值符號，化為無理不等式進行解答[8]。</p

56、><p><b>　　解：</b></p><p>　　(1)當時 ，原不等式等價于 ．由,得； (2)當時，，原不等式等價于 所以由,得。 所以原不等式的解集為．故應選。 例2 ：當從到變化時，曲線怎樣變化?</p><p><b>　　解：</b></p><p>　

57、　當時，曲線方程化為，很明顯看該出曲線是單位圓；</p><p>　　當時，曲線方程化為,它表示焦點在y軸上的橢圓，短半軸為定長1；長半軸為，當這個時候無限變長； </p><p>　　當時，原方程化為，它表示兩條平行直線； 當時，原方程化為，它表示雙曲線，，該雙曲線焦點在軸上； 當，原方程化為，它表示焦點在軸上的等軸雙曲線。 點評：當從到變化時，曲線從單位圓、

58、橢圓、平行直線到雙曲線、等軸雙曲線；量變引起質(zhì)變，關(guān)節(jié)點上發(fā)生突變飛躍，在這里我們看到辯證法在中學數(shù)學中體現(xiàn)得淋漓盡致[9]。例3： 集合與，若，求實數(shù)的取值范圍。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　(1)； (2)當時，等價于方程組</p><p>　　顯然方程組無解等價于方程③無解或方程③有一解(為什么?)

59、。而方程③有無解又要對是否等于零分別討論。即是否等于分別討論： ①當時，③化為，無解，和(1)相同； ②當時，③化為無解，此時成立； ③當時，方程(3)可化為若，代入上式可解得，此時綜合(1)，(2)兩種情況得。</p><p>　　評述：本命題實質(zhì)是判定以圓錐曲線的焦點弦為直徑的圓與其準線的位置關(guān)系(即是相交、相切、相離)。大家再一次看到量（e）引起質(zhì)（位置）變的數(shù)學例子[1

60、0]。例4 ：令圓錐的母線長為，軸截面面積為，那么過頂點的圓錐的截面面積的最大值為多少？ 解：設圓錐軸截面頂角為，則。 當時，過頂點的圓錐的截面都為等腰三角形，它的兩腰為圓錐的兩條母線，而另一邊為底面圓的一條弦，因為圓的任意一條弦都小于(或等于)直徑，所以由平面幾何知識得知，此時截面等腰三角形的頂角都小于軸截面的頂角，即在(范圍內(nèi),正弦函數(shù)是單調(diào)遞增的)由三角形面積公式 當時，過頂點O的截面的兩條母線互相垂直時

61、，截面面積最大，此時最大。 綜合上述可知，經(jīng)過頂點的圓錐的截面面積的最大值為或．例5：在直角坐標系中，令矩形的頂點按逆時針方向依次為，其中。計算矩形在第一象限部分的面積。 首先分析：先畫出草圖幫助分析．要求矩形OPQR在第一象限部分的面積，必須知道它在第一象限內(nèi)的部分是什么圖形．由為定點，所以當為正數(shù)時，雖然點恒在第一象限，而點恒在第二象限，但點的橫坐標可以為正，可以為零，可以為負，即點可能在</p>&

62、lt;p>　　解：(1)當點的橫坐標即時，點在第一象限．設與軸相交于． 直線的方程是：，即，　　 令，得，　　 因為S(t)=.　　 因為 ,　　 所以； (2)當即時，點坐標為　　 所以； (3)當．即時，點在第二象限，設與軸相交于點．直線的方程是： 即。</p><p><b>　　令得</b></p><p>　　評注：本題適當

63、變換思路和解題方法，避開了分類討論。對于有可能避免分類討論的題目，應盡量選擇更簡便的方法。　　小結(jié)：分類討論的思想在求解函數(shù)、方程、不等式、排列組合，幾何等數(shù)學問題中有廣泛的應用．用分類討論解答數(shù)學問題的主要步驟是：首先分析題目條件，明確討論的對象，確定對象的全體；然后確定分類標準，正確進行分類，做到不重不漏并力求最值；有時也會遇到二級分類；其次逐類進行討論、求解[12]。最后納小結(jié)，得出綜合后的結(jié)論。所以說我們有必要學好這些方法，領

64、悟這些方法在解題中的應用，掌握基本的解題技巧，為今后更深層次的學習打下基礎。 </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]吳健. 聚焦絕對值問題中的分類討論思想[J],數(shù)學大世界(初中版),2011年Z2期</p><p>　　[2]車樹勤. 分類討論,如何化整為零(上)[J],數(shù)學教學通訊,2011年02期&l

65、t;/p><p>　　[3]信繼豐. 優(yōu)化解題思維、避免分類討論[J],中學生數(shù)理化，2011年01期</p><p>　　[4]趙響. 有效回避分類討論的幾點注意[J],高中數(shù)理化,2011年07期</p><p>　　[5]楊繼梓. 初中數(shù)學教學中的分類討論思想[J],陜西教育(教學版),2011年05期</p><p>　　[6]嚴菊花.

66、對初中數(shù)學學習中分類討論的探究[J],考試周刊,2011年56期</p><p>　　[7]徐勇. 分類有方 妙不可言[J],數(shù)學教學通訊,2009年32期</p><p>　　[8]吳鋒. 由一道中考題的錯解談分類討論[J],初中數(shù)學教與學,2011年17</p><p>　　[9]呂林根. 解析幾何（第三版）[M],高教出版社，2002年</p>

67、<p>　　[10]馬良.高級運籌學[M],機械工業(yè)出版社，2008年</p><p>　　[12]鄧小榮．高中數(shù)學的體驗教學法〔J〕．廣西師范學院學報，2003（8）</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　光陰似箭，白駒過隙，大學四年已經(jīng)接近了尾聲。當自己懷著忐忑不安的心情完成這篇畢業(yè)論文的時候，我從小

68、就在農(nóng)村長大，上小學的時候，由于家庭情況不好，每天除了上學的時候，早上起來幫爸媽們煮好飯或者去干一兩個小時的農(nóng)活，然后才自己背起個書包向二十來里的學校奔跑，放學回家?guī)椭改缸鲎约毫λ芗暗募覄談趧?，思想上無憂無慮，活潑天真。由于自己的學習成績還不錯，一步一個腳印的完成了各階段的學業(yè)，也從當年一個懵懂少年轉(zhuǎn)變成了一個成熟青年，想想這么多年的寒窗苦讀，實在不容易，雖然最終只是一個本科文憑，但還是有很大的滿足感，畢竟是自己這么多年來的收獲。第

69、一，這么多年來的學費和生活費就不是一個小數(shù)目，這當然要感謝我的爸爸和媽媽，沒有他們的支持和鼓勵，我是不可能圓滿的完成我的學業(yè)。第二，要感謝和我一起研究的同窗好友，我們在設計中一起分析問題，討論問題，讓我很快的發(fā)現(xiàn)問題，把設計順利的進行下去，如果沒有你們的幫助我不可能這樣順利地結(jié)稿，在此表示深深的謝意！因此我要感謝那些在我求學時對我經(jīng)濟和精神上幫助的朋友、老師和同學們，我的生活因你們而精彩和充實。</p><p>

70、　　**學院，這里嚴謹?shù)膶W風、優(yōu)美的校園環(huán)境使我大學四年過的很充實和愉快。在四年時間里，我有幸和許多優(yōu)秀的同學一起學習，確實學到了很多有用的知識，尤其是數(shù)學系各位領導和老師對我思想和方法上的指導。這些有用的東西一直對我大學的學習和生活有很重要的指導作用，我相信，這些東西將伴隨我走完整過人生的道路。現(xiàn)在回想以前的日子，還是那么的溫馨和愜意，我不能不感謝我們班的每一位同學和老師，跟你們在一起學習、生活，那真是其樂融融，妙不可言！ <