3.1.1方程的根與函數(shù)的零點-昆明-新東方

1、,,×,方,程,的,根,與,函,數(shù),龐 磊 昆明新東方中學部,的,零,點,,高中數(shù)學新課標（人教版）必修1 課件,高中數(shù)學思想剖析,,,,,,,,,,,數(shù)學五大基本思想,函數(shù)與方程的思想,數(shù)形結(jié)合思想,方程（或不等式）與函數(shù)是互相聯(lián)系的，利用函數(shù)與方程（或不等式）之間的對立統(tǒng)一關(guān)系，能進一步提高綜合運用知識分析問題和解決問題的能力,函數(shù)中可利用的圖形有類，即函數(shù)圖象和函數(shù)運算結(jié)合在一起,分類討論思想,化歸（轉(zhuǎn)化

2、）思想,類比思想,分類討論是一種重要的數(shù)學思想，它有三個重要的原則，即不越級、不重復、不遺漏(不折不扣，不重不漏）,要解決一個新問題，常常采用由生疏到熟悉，由復雜到簡單等的轉(zhuǎn)化策略，使問題獲得解決．轉(zhuǎn)化時要注意問題的等價性．三角公式的應用及三角函數(shù)關(guān)系式的化簡、計算、證明等都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化（化歸）思想．特別地，在三角變換解題時的一般思路是：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消約，引輔助,類比

3、有助于解題．比如，我們常常會把函數(shù)與圖象之間的變換和函數(shù)與圖象之間的變換作一比較．類比的關(guān)鍵是要在不同之中找相同，在相似之中找不同．,引入新課,在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座，雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當漫長的歲月. 我國古代數(shù)學家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問題。如約公元50年—100年編成的《九章算術(shù)》，就給出了求一次方程、二

4、次方程和三次方程根的具體方法…,,,,×,求下列方程的根： (1) 3x+2=0; (2) x2-5x+6=0; (3) lnx+2x-6=0.,課程大綱（新增內(nèi)容）,,,,,,主要內(nèi)容,二次函數(shù)零點具體實例,抽象二次函數(shù)根的結(jié)論,二次函數(shù)五點注意,一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系,數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系與區(qū)別,1、根是橫坐標的取值2、零點不是點而是自變量的值a,Δ> 0兩不等實根

5、Δ= 0兩相等實根Δ< 0 無實數(shù)根,五、研究函數(shù)零點的方法,六、在怎么樣的條件下存在零點（零點定理）,七、 零點的唯一性確定,主要內(nèi)容,課程大綱（新增內(nèi)容）,,新在哪里,？,引入新課,問題1　填表，觀察說出表中一元二次方程的實數(shù)根與相應的二次函數(shù)圖象與x軸的交點的關(guān)系.,x1=-1，x2=3,x1=x2=1,無實數(shù)根,兩個交點 (-1,0),(3,0),一個交點(1,0),沒有交點,結(jié)論：1.方程根的個數(shù)就是函

6、數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù). 2.方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.,,,×,引入新課,問題2　若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相應的二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？,x1=-1，x2=3,x1=x2=1,無實數(shù)根,兩個交點 (-1,0)，(3,0),一個交點(1,0),沒有交點,判別式Δ,Δ>

7、; 0,Δ= 0,Δ< 0,方程ax2 +bx+c=0(a>0)的根,兩個不相等的實數(shù)根x1 、x2,有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2,沒有實數(shù)根,x1,x2,x1,(x1,0), (x2,0),(x1,0),結(jié)論：1.方程根的個數(shù)就是函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù). 2.方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.,,,×,類比推廣,教師演示：在幾何畫板下展示類似如下函數(shù)的圖象：1. y＝3

8、x+2,2. y＝2x-8,,問題3 一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系會是怎樣呢？,結(jié)論：和上面一樣，但要注意，方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，而不是點；因此我們可以借助求出函數(shù)與x軸的交點坐標來求一些疑難方程的根。,,,×,函數(shù)零點的定義,2、區(qū)別：,1、聯(lián)系：,①數(shù)值上相等：求函數(shù)零點就是求方程的根.②存在性相同：函數(shù)y=f(x)有零點? 方程f(x)=0有實數(shù)根? 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸

9、有交點,零點對于函數(shù)而言，根對于方程而言．,問題4 函數(shù)的零點與方程的根有什么聯(lián)系和區(qū)別？,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點．,,,,×,注意：零點是自變量的值，而不是一個點．,-1, 4,1, - 5,函數(shù)零點的定義,D,,,×,問題5 研究函數(shù)的零點有什么方法？,（代數(shù)法）求函數(shù)零點的步驟： (1)令f(x)=0; (2)解方

10、程f(x)=0 ； (3)寫出零點.,求方程根的方法,①公式法,②求函數(shù)的零點法,,求函數(shù)零點的方法,①代數(shù)法：求相應方程的根，得零點.,②幾何法：畫函數(shù)圖象得零點.,,函數(shù)零點的定義,,,×,函數(shù)零點存在性的探究,觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象：在區(qū)間[-2, 1]上有零點______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“”）．在區(qū)間(

11、2，4)上有零點______；f(2)=_______，f(4)=_______，f(2)·f(4)____0（“”）．,探究:,問題6:在怎樣的條件下，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上存在零點？,－1,－4,5,<,3,<,-3,7,,,×,問題6:在怎樣的條件下，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上存在零點？,觀察函數(shù)的圖象并填空:①在區(qū)間(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“

12、”)． 在區(qū)間(a,b)上______(有/無)零點；② 在區(qū)間(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“”)． 在區(qū)間(b,c)上______(有/無)零點；③ 在區(qū)間(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“”)． 在區(qū)間(c,d)上______(有/無)零點；,有,<,有,<,有,<,,函數(shù)零點存在性的探究,,,×,,,c,c,如果函數(shù)

13、 y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根．,函數(shù)零點存在性定理,,,×,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

14、 內(nèi)有零點． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根．,函數(shù)零點存在性定理：,例1 判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例（1）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f (a) ·f(b) < 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點.（ ）（2）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f (a) ·f(b) ≥0，則f

15、(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.（ ）（3）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[a,b] 滿足f (a) ·f(b) < 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.（ ）,,,×,例1 判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例（1）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f (a) ·f(b) < 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點.（ ）

16、（2）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f (a) ·f(b) ≥0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.（ ）（3）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[a,b] 滿足f (a) ·f(b) < 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.（ ）,,,畫圖象舉反例說明：,圖1,圖2,圖3,,,×,那么函數(shù)在區(qū)間[1, 6]上的零點至少有（ ）個A. 5

17、個B. 4個 C. 3個D. 2個2、函數(shù)f (x)= – x 3 – 3x + 5的零點所在的大致區(qū)間為（ ）A. ( – 2 ，0)B. (1，2)C. (0，1)D. (0，0.5),C,B,1、已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應值表：,零點存在性定理的應用：,,,×,由表可知f(2)0，從而f(2)·f(3)<0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3

18、)內(nèi)有零點．,由于函數(shù)y=lnx和y=2x在定義域域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，因此它僅有一個零點．,用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表：,解法1：,零點存在性定理的應用：,問題7：如何說明零點的唯一性？,,-1.3069,1.0986,3.3863,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,f(x)=lnx+2x- 6,-4,例2 求函數(shù)f(x)=lnx+2

19、x- 6的零點的個數(shù)，并確定零點所在的區(qū)間[n, n+1] (n∈Z) .,,,×,5.6094,解法2：估算f(x)在各整數(shù)處的取值的正負：,解法3：,將函數(shù)f(x)= lnx+2x-6的零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù) y= lnx與y=-2x +6的圖象交點的個數(shù)．,y=-2x +6,y= lnx,,,例2 求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 的零點的個數(shù)，并確定零點所在的區(qū)間[n, n+1](n∈Z) .,-,+,零點存在性定

20、理的應用：,,,×,+,-,函數(shù)零點與方程根的關(guān)系:,,函數(shù),方程,零點,根,數(shù) 值,存在性,個 數(shù),函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想．,求函數(shù)零點、確定零點個數(shù)、求零點所在區(qū)間．,課堂小結(jié),,,×,一個關(guān)系：,三種題型：,兩種思想：,1．利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根：(1) 2x(x-2)=-3; (2) ex-1+4=4x.2．寫出并證明下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間： (1) f(x)=2xl

21、n(x-2)-3; (2) f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.3．函數(shù)(1) m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個零點； (2)如果函數(shù)至少有一個零點在原點右側(cè)，求m的值．,,,×,1.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的零點是2和-4,求a,b的值.,2.若二次函數(shù)f(x)=x2+mx+3有唯一零點，則m的值和零點分別是多少？,3.若函數(shù)y=ax2-x-1只有一個零點，求a的值。,,,×,