實際測度下風(fēng)險資產(chǎn)的定價模型研究.pdf

1、自Black&Scholes(1973)([1])和Merton(1974)([2])以來，關(guān)于金融風(fēng)險的模型研究有了長足的發(fā)展。其中以連續(xù)市場風(fēng)險和信用風(fēng)險的模型研究最受關(guān)注。連續(xù)市場風(fēng)險模型除了威廉·夏普的資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)外，無套利定價模型應(yīng)用更為廣泛，如StephenA.Ross的套利定價理論和Black-Scholes(1973)的期權(quán)定價理論。信用風(fēng)險模型主要分為三類，結(jié)構(gòu)模型(structuremodel)如[2

2、，3，4，5]，簡約模型(reduced-formmodel)如[6，7，8，9，10]和不完全信息模型(incompleteinformationmodel)如[11，12，13]。除了一些統(tǒng)計模型如[14，15]，現(xiàn)有文獻中研究風(fēng)險定價的模型大多數(shù)依賴于風(fēng)險中性測度的存在，這是無套利定價體系的一個關(guān)鍵假設(shè)。這給實際應(yīng)用帶來了一些不便，其一，風(fēng)險中性測度的存在要求市場是無套利的，這一點很難滿足，其二，如果模型的參數(shù)不能滿足測度變換時的

3、不變性，則利用歷史數(shù)據(jù)校正風(fēng)險中性定價的模型參數(shù)就比較困難，其三，無套利定價要求資產(chǎn)的可交易性，所以對于不可交易的風(fēng)險資產(chǎn)(如保險公司的保單)，這一理論不易直接套用。因此一些學(xué)者開始試著在實際測度下定價風(fēng)險資產(chǎn)，如[16，17，18]。他們指出了風(fēng)險中性測度和實際測度間的等價關(guān)系，但研究結(jié)果最終還是通過風(fēng)險中性測度表示的。 為了進一步發(fā)展風(fēng)險資產(chǎn)定價理論，本文利用倒向隨機微分方程研究實際測度下風(fēng)險證券的定價，包括 ·無違

4、約證券在無風(fēng)險利率存在時的定價； ·無違約證券在無風(fēng)險利率不存在或難以獲得時的定價； ·不含市場風(fēng)險的違約證券的定價，包括離散情況和連續(xù)情況； ·一般違約證券的定價，也分為離散支付和連續(xù)支付兩種情況； ·一般違約證券基于無違約可交易證券的定價。 最后給出了基于無違約可交易證券的違約證券定價公式的推廣形式，并且證明這一定價在一定條件下是可以獲得完全保值的。這些定價模型基于共同的原理：證券的價格應(yīng)該等

5、于其未來現(xiàn)金流的折現(xiàn)，這里稱為時間-風(fēng)險折現(xiàn)，而折現(xiàn)率依賴于無風(fēng)險利率和證券所包含的風(fēng)險需要的補償。為了度量風(fēng)險補償?shù)拇笮?，我們引入了風(fēng)險的市場價格概念，包括信用風(fēng)險的市場價格和連續(xù)市場風(fēng)險的市場價格。這兩個價格可以通過證券市場數(shù)據(jù)來估計，[17，18]等文獻曾對這兩個價格進行了計算。所以我們假設(shè)風(fēng)險的市場價格已知，如果無風(fēng)險利率存在，則假設(shè)無風(fēng)險利率也是已知的。而單位風(fēng)險用不同的隨機過程來表示，簡單地用一維標準布朗運動表示市場風(fēng)險，用

6、Poisson過程表示違約風(fēng)險，并假設(shè)Poisson過程在離散情況下的違約概率或連續(xù)情況下的強度過程是已知的。結(jié)合證券的現(xiàn)金流我們可以求得任何無違約證券在到期T前任意時刻的價格： pdf=E[∫tTbsexp{-∫tsrudu-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du}ds+exp{-∫tTrsds-∫tTηsWdWs-1/2∫tT(ηsW)2ds}ξ|Ft],(A)t∈[0,T]其中過程ηW代表市場風(fēng)險的市場價格，r代

7、表無風(fēng)險利率，(b，ξ)為持有該證券期間的現(xiàn)金流和到期T時的償付。如果我們已知一個無違約可交易證券Z的價格過程{dZ(t)=Z(t)[μz(t)dt+σz(t)dWt],(0≤t＜≤T')Z(0)=z0(＞0)則所求證券的價格可表示為(A)t∈[0，T]pdfz=E(∫tTbsexp{-∫tsμz(u)du+∫tsηuWσz(u)du-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du}ds+ξexp{-∫tTμz(s)ds+∫tTηsW

8、σz(s)ds-∫tTηsWdWs-1/2∫tT(ηsW)2ds}|Ft)而對于違約證券，如果進一步知道證券的違約回復(fù)，則不含市場風(fēng)險的違約證券價格為：V(t,ω)=1(τ＞t)[∫tT(bs-cs-ηN(s,ωs))exp{-∫ts(ru-ηN(u,ωu))du}ds+Xexp{-∫tT(ru-ηN(u,ωu))du}]其中b，c分別代表該證券連續(xù)支付的利息和違約回復(fù)，(η)N代表調(diào)整后的違約風(fēng)險市場價格。類似地我們還求得一般違約證券

9、的價格過程： Vt=1(r＞t)E[∫(t,T)(bs-cs-ηsN)exp{-∫tsrudu-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du+∫tsηuNdu}ds|Ft]+1(τ＞t)E[Xexp{-∫tTrudu-∫tTηuWdWu-1/2∫tT(ηuW)2du+∫tTηuNdu}|Ft]此外我們還討論了離散情況下違約證券的定價和當無風(fēng)險利率不存在時違約證券的定價，具體結(jié)果將在正文中給出。 概括起來，本文研究的模

10、型具有以下特點： 一.證券定價公式都是在實際測度下給出的，便于模型參數(shù)的校正。 二.定價公式本身有著明顯的經(jīng)濟解釋，反映了風(fēng)險對證券價格的影響，滿足同風(fēng)險同收益原理。 三.文中給出的資產(chǎn)價值還滿足資本最小化原理，并且當市場滿足無套利條件時，可交易證券的價值是無套利價格。 四.文中的定價模型并不需要證券的波動率是已知的，它可以通過計算，與資產(chǎn)價值一起得到，所以這里給出的是隱含波動率，它反映了單位風(fēng)險對證券價

11、格變動的影響程度。我們并不關(guān)心他與通常意義下的波動率取值是否一致，因為用波動率衡量風(fēng)險也只不過是對風(fēng)險的一種度量方法，并非風(fēng)險的真實含義。也就是說，我們舍棄了利用波動率去衡量風(fēng)險的思想，而是給出由實際證券價格反映出來的風(fēng)險影響。 五.既然這里主要利用倒向隨機微分方程(BSDE)表達證券的價格過程，就存在該方程解的存在問題。如果利用BSDE解的存在唯一性條件求解，所得的解只能是唯一的，也就只能反映完全市場下的價值，考慮到大多數(shù)情況