數(shù)學史概論-數(shù)學與統(tǒng)計學院

1、感言 一件遺憾的事兒：幾乎所有的大學生不知道非歐幾何，甚至數(shù)學類專業(yè)的本科生（包括部分大學數(shù)學教師）也是如此。 今天我們試圖來彌補這個遺憾，來了解影響和改變世界的非歐幾何。,第十章 痛苦的分娩——幾何學的革命,一、關于第五公設的思考,二、非歐幾何的誕生,2.黎曼對非歐幾何的貢獻,三、非歐幾何產(chǎn)生的意義,1.高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的突破性工作,3.幾何學的劃分,4.非歐幾何的模型,5.非歐幾何的相容性

2、,6.平行公理的獨立性問題,公元前300年產(chǎn)生了歐氏幾何，至今每個學生在初中都要學習它，它的影響遍及世界各國。兩千多年來，人們一直認為歐幾里得幾何空間是反映現(xiàn)實世界唯一正確的幾何空間。直到18世紀，歐氏幾何仍一統(tǒng)天下。到了19世紀20年代，非歐幾何的誕生使人們從這一思想中解放了出來。在數(shù)學史上，很少有一個分支能像非歐幾何那樣對人類的認識產(chǎn)生如此深刻的影響。人們常把非歐幾何引起的思想變革比作哥白尼的革命。德國偉大數(shù)學家希爾伯特說：“19世

3、紀最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。” 非歐幾何產(chǎn)生的最早根源在于人們對歐幾里得第五公設的研究。,關于第五公設的思考,1,五條公設,公設1. 一點到另外一點作直線是可能的；,,,,五條公設,公設2. 有限直線不斷沿直線延長是可能的；,,,,五條公設,公設3. 以任一點為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的；,,,,,,五條公設,公設4. 所有直角彼此相等；,,,B,A,C,D,五條公設,公設5. 如果一直線與兩直線相交

4、，且同側所交兩內角之和 小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點。,,,,,a,b,a + b < 180?,,?1,?2,,,?,,第五條公設等價于平行公理：過直線外一點可以作唯一一條直線與之平行。,,,,《幾何原本》問世后，第五公設引起了數(shù)學家們的極大關注。人們認為作為其基石的五個公理以及五個公設中的前4個公設簡單明了，符合亞里士多德關于公理自明性的要求，而唯獨第五公設即所謂的平行公理卻顯得陳述復雜且不夠自明，

5、很像一條定理。似乎連歐幾里得本人對這一公設也不太滿意。這是因為，《幾何原本》第一卷中共48個命題，其中前28個命題的證明，歐幾里得都回避了第五公設，只有在第29個命題的證明中才不得不應用了一次，并且這也是整個《幾何原本》唯一的一次應用第五公設。,所以自歐幾里得以來，人們總懷疑這一公設本身就是一個定理，只不過歐幾里得本人無法證明它才把它當作公設罷了。對于這部千古不朽的巨著這真是白壁之瑕。因此，許多人想盡力洗刷掉這唯一的“污點”。

6、 對于這個問題有三種解決途徑： 1.試圖通過給出平行線定義以避開這個困難； 2.試圖用比平行公理缺點更少的其它公理代替它； 3.用其它9個公理或公設去證明它！,在進行第二項工作的研究中，人們發(fā)現(xiàn)了許多與第五公設等價的命題，證明其一便相當于證明了第五公設。比如： 平行公理：過直線外一點可以作唯一一條直線與之平行； 三角形內角和定理：三角形內角和等于180度。,第三項問題得到的研究最多，人們?yōu)榇伺α藘汕?/p>

7、多年，花費了無數(shù)數(shù)學家的心血，但終究沒有成功。 雖然此后無數(shù)的數(shù)學家都曾試圖利用其它公設和公理來證明第五公設，但不是論證上有錯誤就是證明過程中利用了第五公設的等價命題。,歷史上第一個給出第五公設證明的是公元2世紀的古希臘數(shù)學家托勒密。但他的證明依賴了一個假定：過已知直線外一點可且僅可作一條直線與已知直線平行。這實際上是和第五公設等價的一個命題。所以托勒密沒有由其它公設證明第五公設。后來，由于蘇格蘭數(shù)學家普萊菲爾首先有意識

8、地用它來代替第五公設，故該命題稱為“普萊菲爾公設”。這個公設代替第五公設廣泛地出現(xiàn)在18世紀的歐氏幾何的教科書中，所以使人們誤解第五公設的原文就是平行公設。,除此之外，中世紀阿拉伯數(shù)學家納西爾丁試圖通過證明等價命題：三角形內角和為兩直角。1741年克萊羅試圖證明等價命題“如果四邊形的三個角是直角，則第四個角也是直角。”1833年勒讓德試圖證明等價命題“過不共線的三點可作一圓?！钡紱]有成功。 這些試圖直接證明第五公設的做法均告失

9、敗。這樣，人們就開始逐漸地把注意力轉移到間接證法上來。即假設平行公理不成立，力圖導出一個矛盾，這樣就等于用反證法由其它公設和已知事實證明了平行公理。人們在這個假定下試圖找出矛盾，但總未真正找出矛盾。直到19世紀，數(shù)學家們才逐漸認識到：第五公設確實獨立于其它公設。如果將第五公設替換成相反的某種假設，可以建立與歐氏幾何不同的幾何體系。,非歐幾何的誕生,2,19世紀，德國數(shù)學家高斯（Gauss, C. F., 1777--1855）、俄羅斯數(shù)

10、學家羅巴切夫斯基（Ποбаyeвский Н. И.，1793---1856）和德國數(shù)學家黎曼（G. B. Riemann,1826--1866）等人，在用反證法研究第三項問題時，試圖推出矛盾，但卻沒有。即，假設第五公設不成立，結果并不會出現(xiàn)矛盾！ 于是他們頓悟：推翻第五公設！從而導致了非歐幾何的產(chǎn)生。,高斯被譽為“非歐幾何的先驅”;羅巴切夫斯基被冠以“幾何學上的哥白尼”;黎曼是一個極富天分的多產(chǎn)數(shù)學家，在他短暫的一生中，他

11、在許多領域寫出了許多有名論文，對數(shù)學的發(fā)展做出了重要貢獻，影響了19世紀后半期數(shù)學發(fā)展，黎曼幾何僅是他的成就之一。,1、高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的突破性工作 高斯早在15歲時，就開始思考第五公設。36歲時，他具有了非歐幾何的基本思想，確信存在著不同于歐氏幾何的另一種幾何學。盡管高斯對幾何學的本質問題有著深刻的理解，但他一直沒有發(fā)表過這一思想。原因有兩方面： ①膽怯。 高斯認為，這種新思想沖擊了歐氏幾何2000多

12、年的權威，與人們的常識相悖，必然要遭到世人的攻擊和嘲笑。高斯深知傳統(tǒng)思想的頑固，所以在世人偏見造成的壓力下退卻了。所以讓人感到遺憾的是，這位被譽為“數(shù)學王子”的高斯，在有生之年沒有能給非歐幾何的發(fā)展以根本的推動。 ②過于謹慎。 這是高斯從事數(shù)學研究的工作態(tài)度。他只有在證明的嚴密性和文字敘述的簡明性方面都達到無懈可擊時才肯發(fā)表。,德國數(shù)學家高斯（Gauss, C. F., 1777--1855）是最早認識到可以否定第五公

13、設的人。,1792年開始思考第五公設問題。1794年，發(fā)現(xiàn)非歐幾何的一個事實。1799年起，著手建立這一新幾何。1824年，高斯又在給朋友的信中寫到：,……三角形內角和小于180度，這一假設引出一種特殊的、和我們的幾何完全不相同的幾何。這種幾何自身是完全相容的，當我發(fā)展它的時候，結果完全令人滿意。……,這一假設相當于把平行公理改換為：,過直線外一點可以做多條直線與之平行,羅巴切夫斯基，出生在俄國喀山一個貧窮的公務員家庭。15歲進入

14、喀山大學學習，由于在數(shù)學上取得優(yōu)異成績受到教授們的贊賞。所以教授們堅決主張在羅巴切夫斯基大學畢業(yè)后授予他碩士學位并留校工作。24歲，羅巴切夫斯基成為該校副教授，30歲晉升為教授，后任喀山大學校長。 1893年，在喀山大學樹立起了世界上第一個為數(shù)學家雕塑的塑像。這位數(shù)學家就是俄國的偉大學者、非歐幾何的重要創(chuàng)始人——羅巴切夫期基。,與高斯的保守和膽怯相比，羅巴切夫斯基則是一個為確立和發(fā)展非歐幾何始終不渝的戰(zhàn)士。,羅巴切夫斯基從1815年開始

15、研究平行公理問題，起初也和大多數(shù)人一樣，相信平行公理是可以證明的。1823年他開始試圖用反證法來證明。他從平行公理的否命題出發(fā)，同時保留了歐氏幾何的其它公理，按照嚴格的邏輯推理進行推導，然而矛盾卻沒有出現(xiàn)，反而得到了一系列重要的結果。羅巴切夫斯基果斷地放棄了關于歐氏幾何是描述物質空間唯一絕對的幾何學的傳統(tǒng)觀念，大膽提出：由平行公理的否命題出發(fā)而得到的結果代表著一種新的幾何學，盡管這種幾何學中的許多結論是令人驚異和不可思議的，但它本身卻是

16、無矛盾的，它可以和歐氏幾何一樣成立。,學術報告時間：1826年2月23日，地點：喀山大學數(shù)學物理系人物：羅巴切夫斯基題目：《關于幾何原理的扼要敘述及平行線定理的一個嚴 格證明》,1826年2月23日這一天，被后人確定為非歐幾何的誕生日，從而宣告歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面不復存在。這篇論文不僅標志著非歐幾何的誕生，引起了幾何學的革命，而且也標志著近代數(shù)學時期的開始。,在這篇論文中，羅巴切夫斯基首先引用了與第五公設相反的斷言：過不在直

17、線上的一點可至少引兩條直線與已知直線平行。同時，保留了歐氏幾何中除第五公設之外的其它公設，構造了一個邏輯體系。他發(fā)現(xiàn)這個體系沒有邏輯矛盾，但又與歐氏幾何不同，他認為這是一種新的幾何學。這是2000多年來思維過程形成的慣性下出現(xiàn)的一次重大突破。,過直線外一點可以作兩條直線與之不相交,羅巴切夫斯基的幾何,由這一幾何體系，可以得到兩個結論： 1.第五公設與其它公設在邏輯上是不相關的，即它不能由其它公設推出； 2.除去使這一公設

18、成立的歐氏幾何外，還有使這一公設不成立的幾何學。 在羅氏幾何中，出現(xiàn)了許多在歐氏幾何看來純屬異端邪說的結論。如 1.過直線外一點可引無數(shù)條平行線平行于已知直線； 2.三角形的內角和小于兩直角； 3.不同大小的三角形永遠不能相似。,1829年，在《喀山通報》上，羅巴切夫斯基以《幾何學原理》為題正式發(fā)表了他的研究成果，這是世界上第一部公開出版的非歐幾何的文獻。這一新思想是20世紀相對論產(chǎn)生的前奏和準備。

19、后來的歷史證明非歐幾何導致的思想解放對現(xiàn)代數(shù)學和科學有重要的意義。因為如果沒有這一進步，人類就不可能突破感觀的局限而深入到自然更深刻的本質中去。 和所有的先知先覺者一樣，羅得到的是冷遇和嘲諷。他的新學說沒有得到承認。1834年，有人在《祖國之子》雜志上寫文章譏諷說：“為什么不把黑的想象成白的，把圓的想象成方的，把三角形內角和想象成小于兩直角，把同一個定積分值想象成既等于 又等于 呢？非?？赡?，盡管理智是不可能理解這些

20、的?！薄盀槭裁床话褬祟}《幾何學原理》寫成《對幾何學的諷刺》或《幾何學漫畫》呢？”德國著名詩人歌德甚至寫了一首詩來嘲笑非歐幾何：“有幾何兮，名為非歐，自己嘲笑，莫名其妙?！钡_卻一直執(zhí)著地研究非歐幾何。,1837年羅寫成《虛幾何學》，1840年寫出《平行線理論的幾何研究》。直至他去世前，雖然身患重病，雙目失明，但仍口述完成《泛幾何學》。遺憾的是，在羅發(fā)現(xiàn)非歐幾何之后的30年中沒能看到對這種幾何學的確認。直到他去世12年之后，意大利數(shù)學家貝

21、爾特拉米發(fā)表了《非歐幾何解釋的嘗試》，給出了非歐幾何在歐氏空間上的模型，這才從理論上消除了人們對非歐幾何無矛盾性的懷疑。非歐幾何獲得學術界的一致承認和贊美。羅被譽為“幾何學中的哥白尼”。,幾何名稱：虛幾何學想象幾何學泛幾何學羅巴切夫斯基幾何。,在與羅幾乎同時，1823年，匈牙利的J.波爾約也獨立發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。他的父親W.波爾約也曾經(jīng)研究過第五公設，但沒有成果，認為研究這一問題純粹是浪費時間。所以當他的兒子決心研究這個問題時，老

22、波爾約就忠告他：這是一個可以吞掉幾個牛頓式人物而毫無前途的問題，但小波爾約卻偏向虎山行，并于21歲時有了新發(fā)現(xiàn)。當年，小波爾約的論文《關于一個與歐幾里得平行公設無關的空間的絕對真實性的學說》作為其父親一部著作《向好學青年介紹純粹數(shù)學原理的嘗試》的附錄出版。老波爾約并把該書寄給了好朋友高斯，請他評價兒子的研究成果。,鮑耶的父親，高斯的同學,高斯回信說，如果從一開始我就說我不能稱贊波爾約的工作，那你一定感到奇怪。但我確實不能說別的話，因為稱

23、贊他就等于稱贊我自己。你兒子所采用的方法和他所得到的結果幾乎和我30年前就已開始的研究相符合，我自己永遠不想發(fā)表，現(xiàn)在你的兒子能把它發(fā)表出來，我很高興。高斯的回信讓波爾約很失望，他不相信高斯在他之前就有了同樣的發(fā)現(xiàn)。他認為高斯剽竊了他的成果，后來他又看到羅在1835年的著作時，也認為羅抄了他1823年出版的附錄。這些想法使得年輕的波爾約對數(shù)學界失望至極，據(jù)說他因此放棄了數(shù)學研究而轉向了神學。,所以非歐幾何的建立，要歸功于高斯、羅巴切夫斯

24、基和波爾約。高斯雖然比羅早10年發(fā)現(xiàn)非歐幾何，但沒敢公開發(fā)表。所以就發(fā)表時間之早、內容之豐富、論證之完整以及對非歐幾何忠貞不渝的捍衛(wèi)來說，高斯和波爾約都無法和羅相比。但令人遺憾的是，三位創(chuàng)始人在世時都沒能看到非歐幾何得到公眾的認可，更沒能看到非歐幾何對數(shù)學產(chǎn)生的深刻影響。30年之后，19世紀中期德國的數(shù)學家黎曼又在非歐幾何現(xiàn)有的基礎上作出了突破。,2、黎曼對非歐幾何的貢獻 黎曼，高斯晚年的學生。1854年黎曼被聘為哥廷根大學的講

25、師，在就職演講中作了《關于幾何基礎的假設》的講演，提出了黎曼幾何學。,歐氏幾何中，過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行； 羅氏幾何中，過直線外一點，至少有兩條直線與已知直線平行； 黎曼幾何中，過直線外一點，沒有與已知直線平行的平行線可引。即同一平面上任意兩條直線一定相交。 德國的克萊因稱羅氏幾何為雙曲幾何，稱黎曼幾何為橢圓幾何。在黎曼幾何中，三角形的內角和大于兩直角。,1826--1866,在一般的黎曼幾

26、何中，黎曼提出了用曲率概念來刻畫歐氏幾何及各種非歐幾何的差異。在黎曼空間中，一般情況下每一點的曲率是不同的，只有在特殊情況下才有恒常的曲率。恒常曲率的空間又分為3種： 1.零曲率空間，即歐氏空間；2.負曲率空間，即羅氏空間；3.正曲率空間，即狹義的黎曼空間。這樣，歐氏幾何與羅氏幾何就成為更一般的黎曼幾何的特例。,,黎曼的工作蘊含了極為豐富和深刻的思想。可惜他的演講除了年邁的高斯之外沒有人能聽懂。后人對黎曼的評價是：黎曼把數(shù)學向前

27、推進了幾代人的時間。 受相對論的影響，黎曼幾何又有了新的發(fā)展，成為現(xiàn)代微分幾何的基礎。,黎曼的球面幾何,過直線外一點所作任何直線都與該直線相交,球面上的幾何 要真正了解我們的生活空間，僅靠平面幾何的知識是不夠的。因為我們生活在地球上，地球表面十分接近一個球面，球面幾何是黎曼幾何的一個數(shù)學模型。 1.地球上的赤道和兩條不同的經(jīng)線（大圓）組成的三角形的內角和大于1800 。 2.地面上兩點之間最短的路程是大圓

28、的劣弧。 所以要走最短的路程從北京到紐約，按平面幾何知識兩點之間直線距離最短，但要走直線實際上是不可能的。因為北京和紐約分別在地球的東西半球上，要走直線只能打一個地洞，穿過地球的內部。,,,,3.球面上任意兩個大圓都相交。所以如果我們把球面上的大圓看成是直線，那么在球面幾何中，任兩條直線必相交，所以沒有平行的概念。 4.若三對對應內角相等，則球面三角形的面積相等，所以這兩三角形必全等。所以球面上沒有相似三角形的概念，兩個

29、相似的三角形必全等。 5.相對于半徑，很小的一片球面可看作一個平面，即在小范圍內平面幾何知識成立。當球面半徑無限增大，球面幾何中的正余弦定理能推出平面幾何中的相應公式。,3、幾何學的劃分 由關聯(lián)公理、合同公理、順序公理和連續(xù)公理構成的幾何稱為絕對幾何，加入了歐氏平行公理后的幾何稱為歐氏幾何；加入了羅氏平行公理后的幾何稱為羅氏幾何；加入了黎曼平行公理后的幾何便稱為黎曼幾何。后兩種皆稱為非歐幾何。

30、 絕對幾何 歐氏幾何 羅氏幾何 黎曼幾何,,,,4、非歐幾何的模型 用單位圓的內部|z|<1表示整個非歐平面，圓內的點稱為非歐點，圓周|z|=1上的點都是無窮遠點。當圓內的弦與圓周交于點A和B時，A、B是這一弦的兩無窮遠點。所以弦就具有一般直線的性質，即它從兩端伸向無窮遠處，所以可以把AB稱為非歐直線。過AB外一點P可作無窮多條直線與AB平行，如CD、EF。,,,,,P,A,B,C,D,F,E,5、非

31、歐幾何的相容性 自從人們在歐氏幾何中找到了非歐幾何的模型，有關非歐幾何的命題都可以通過歐氏幾何來證明。所以只要歐氏幾何相容，那么非歐幾何就相容。同樣，人們在非歐幾何中找到了歐氏幾何的模型，所以只要非歐幾何相容，歐氏幾何就相容。這就是相對相容性。歐氏幾何的相容性問題最后可轉化為算術公理系統(tǒng)的相容性，所以只要算術公理系統(tǒng)相容，幾何的相容性問題就解決了。這一問題被希爾伯特列為著名的23個問題中的第二個問題，足以看出它是特別困難的問題。

32、,6、平行公理的獨立性問題 用1，2，3，4分別代表關聯(lián)公理、合同公理、順序公理和連續(xù)公理。由1，2，3，4構成的幾何為絕對幾何，再加上歐氏平行公理5構成歐氏幾何公理系統(tǒng)S:1，2，3，4，5。記羅氏平行公理為5*。由1，2，3，4，5*構成非歐幾何公理系統(tǒng)S*： 1，2，3，4，5* 。下證5在S中獨立， 5* 在S*中獨立。 證明： （反證法） S與S*都相容。假設5在S中不獨立，即由1，2，3，4能推

33、出5。 因為S*中也有1，2，3，4，所以在S*中也可由1， 2，3，4推出5。 但S*中已有5* ，這表明S*不相容。 這一矛盾表明，5在S中不獨立是不可能的。 同理可證， 5*在S*中獨立。,非歐幾何產(chǎn)生的重大意義,3,非歐幾何的出現(xiàn)，使數(shù)學有了更大的自由。在非歐幾何建立之前，盡管數(shù)學已經(jīng)得到了很大的發(fā)展，但主要是一種“積累性”的發(fā)展，并沒有出現(xiàn)兩種互不相容的理論同時出現(xiàn)，這很容易使人把數(shù)學看

34、作一種絕對真理。從數(shù)學發(fā)展史來看，這種情況由于非歐幾何的建立而得到根本性的變化。,非歐幾何的產(chǎn)生具有以下5方面的重大意義： 1.解決了長期懸而未決的平行公理的獨立性問題，同時極大推動了關于公理體系的獨立性、相容性和完備性問題的研究，促成了數(shù)學基礎這一更為深刻的數(shù)學分支的形成和發(fā)展，從而從根本上改變了人們的幾何觀念，擴大了幾何學的研究對象，使幾何學的研究對象由圖形的性質進入到抽象的空間，使幾何的發(fā)展進入了一個以抽象為特征的嶄新階段

35、。,1899年，希爾伯特提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即相容性:從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾;獨立性:系統(tǒng)的每條公理都不能是其余公理的邏輯推論;完備性:系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。,希爾伯特(德, 1862-1943),在這樣組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應的某種幾何。這樣的做法，不僅給出了已有幾種非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學。,在其它科學中，比如經(jīng)濟學、社會

36、學等，人們也希望用公理化方法建立自己的科學體系。 經(jīng)濟學中的謝卜勒 (Shapley) 公平三原則： 原則1：同工同酬原則。 原則2：不勞不得原則。 原則3：多勞多得原則。,2.非歐幾何的產(chǎn)生證明了對公理方法本身的研究和討論是極有意義的，證明了公理方法本身能推動數(shù)學的發(fā)展。 自非歐幾何學產(chǎn)生以來，整個數(shù)學領域掀起了公理化運動，各個數(shù)學分支紛紛建立起自己的公理體系，被認為最不容易建立在公理體系之上的

37、概率論在20世紀30年代也建立了公理系統(tǒng)。,3.非歐幾何的創(chuàng)立為愛因斯坦發(fā)展廣義相對論提供了思想基礎和有力工具。 非歐幾何思想使人類思維從直接經(jīng)驗的狹小范圍中解放出來，激起了人們關于現(xiàn)實空間可能具有非歐幾何性質的大膽想法。1915年愛因斯坦在創(chuàng)建廣義相對論的過程中，因為缺乏必要的數(shù)學工具長期未能取得根本性的突破。當他的好友德國的數(shù)學家格伯斯曼幫他掌握了黎曼幾何和張量分析后，愛因斯坦才創(chuàng)立了廣義相對論，完成了物理學中的一場革命，動

38、搖了牛頓力學在物理學中的統(tǒng)治地位。 按照相對論的觀點，宇宙中的幾何學不是歐氏幾何，而是接近于非歐幾何，所以采用非歐幾何來作為宇宙的幾何模型。以非歐幾何為數(shù)學框架創(chuàng)立相對論這一事實也正實現(xiàn)了羅巴切夫斯基的預言：任何一門數(shù)學分支，不管它如何抽象，總有一天會在現(xiàn)實世界中找到它的應用。,4.使數(shù)學哲學的研究進入了嶄新的歷史時期。 數(shù)學家們開始認識到數(shù)學并非是絕對的真理，數(shù)學的本質在于其自由性。感性直觀并不能作為數(shù)學的依據(jù)，只有合

39、乎邏輯的正確思維結果才是正確的，即使它與感性直觀相矛盾。同時也動搖了公理是自明的這一傳統(tǒng)見解。 5.非歐幾何與相對論的匯合再一次說明了數(shù)學具有廣泛的應用性。 深奧抽象的數(shù)學理論最后幾乎總無例外的在科學中得到應用。在非歐幾何創(chuàng)立之后的幾十年中，都看不到它與物質世界的任何聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學家認為非歐幾何只是邏輯上的珍奇瑰寶，誰也未曾想到，愛因斯坦利用非歐幾何的理論說明了他關于引力的基本思想建立了相對論。愛因斯坦的廣義相對論將牛

40、頓的引力理論視為曲率很小的時空所產(chǎn)生的極限情形。由此可知，非歐幾何不僅與物質世界有關聯(lián)，而且比歐氏幾何更深刻地揭示了物質空間。,回顧歷史，人們在幾何公理系統(tǒng)2000多年的探討中，可以說經(jīng)歷了一個頗為壯觀的戲劇性變化，大致可分為以下6個階段： 1.建立歐氏公理系統(tǒng)并加以逐步完善； 在歐氏公理系統(tǒng)建立后不久，阿基米德就看出它缺少嚴格表述有關長度、面積和體積的測量理論，于是補充了度量公理。1899年，希爾伯特的《幾何基礎》是繼

41、歐幾里得《幾何原本》最完備的公理系統(tǒng)。 2.長期探討平行公理的獨立性問題； 3.在獨立性問題探討的過程中，產(chǎn)生了新的幾何（非歐幾何）； 4.對非歐幾何強烈地懷疑其相容性；,結束語,5.由于在歐氏幾何中找到了非歐幾何的模型，以及在非歐幾何中找到了歐氏幾何的模型，發(fā)現(xiàn)了歐氏幾何與非歐幾何的相容性是相對的； 6.在相對相容性成立的條件下，證明歐氏幾何與非歐幾何中相應的平行公理都獨立。,M.克萊因在《古今數(shù)

42、學思想》中說：“如果我們把18世紀的數(shù)學家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一座令人肅然起敬的顛峰就是高斯；如果把19世紀的數(shù)學家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯?！?高斯（1777—1855），是18、19世紀之交最偉大的數(shù)學家、物理學家和天文學家，近代數(shù)學的奠基人之一。在歷史上的影響可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，被譽為“數(shù)學王子”。他的形象已經(jīng)成為數(shù)學告別過去，走向現(xiàn)代數(shù)學的象征。,高斯,高斯出生于德國的不倫瑞克。祖父是

43、農民，父母也沒有受過正規(guī)的教育。父親除了從事園藝的工作外，還當過各種各樣的雜工，如護堤員、建筑工等。他的第一個妻子和他生活了10多年后因病去世，沒有孩子，后來又娶了高斯的母親。高斯的母親在34歲時才結婚，35歲生下了高斯。她是一名石匠的女兒，有一個很聰明的弟弟。高斯的這個舅舅，心靈手巧，是當?shù)赜忻目椌I高手。他是高斯的啟蒙老師，對幼年的高斯影響很大。一有機會，就教育他，并傳授給他一些知識。而高斯的父親卻認為只有靠力氣才能掙錢，學問對窮人

44、沒有用，所以他想讓高斯和他一起做園丁或泥瓦匠。,高斯的舅舅經(jīng)常勸姐夫讓高斯向學者的方向發(fā)展。高斯的母親對他的成長也起了重要作用，她有效地保護和支持了高斯的自由發(fā)展。在高斯童年的時候，他對一切現(xiàn)象和事物好奇，決心弄個水落石出。為此，高斯的父親經(jīng)常訓斥高斯，但母親站在高斯的一邊，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得和他一樣無知。 高斯3歲時就顯示出了數(shù)學才能。據(jù)說有一天，父親在計算工人們一周的薪水，他在旁邊觀看。父親喃喃地計數(shù)，最后還長嘆

45、一聲表示總算把錢數(shù)算完了。當父親準備記下錢數(shù)時，身邊傳來了高斯微小的聲音：爸爸算錯了，錢數(shù)應該是……。父親驚訝地說不出話，就又算了一次。果然是小高斯算對了。奇怪的是，平常沒有人教過高斯計算，高斯通過自己的觀察竟學會了計算。,高斯7歲上學。10歲時，有一次，算術老師讓全班同學計算1＋2＋3＋….＋100＝？高斯沒有象其他同學一樣急著相加，而是仔細地觀察思考。他發(fā)現(xiàn)：1＋100＝101，2＋99＝101，……，50＋51＝101。所以老師剛

46、寫完這個問題不久，高斯就在小石板上寫出了答案5050，而其他學生直算到頭昏腦漲，仍然沒有算出來。10歲的高斯表現(xiàn)出了超群的數(shù)學思維能力。高斯的計算能力和他那獨到的數(shù)學方法和非同一般的創(chuàng)造力，使得老師刮目相看。,高斯的這位算術老師本來對學生的態(tài)度不好，他常常認為自己在窮鄉(xiāng)僻壤教書是懷才不遇?，F(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了神童，他很高興。但很快他就感到慚愧，因為他覺得自己懂得數(shù)學不多，不能對高斯有什么幫助。他就去城里自己花錢買了一本最好的數(shù)學書送給了高斯，并感

47、嘆說：“他已經(jīng)超過了我，我已經(jīng)沒有什么可以教給他了?！备咚贡闩c老師的助手——一位富有數(shù)學天才的好學青年巴特爾斯一起研究學習數(shù)學，后來巴特爾斯也成為數(shù)學家，主持俄國喀山大學的數(shù)學講座。 11歲時，高斯發(fā)現(xiàn)了二項式定理的一般情形，他還注意到無窮的問題。,有一天，在回家的路上，高斯一邊走一邊全神貫注的看書，不知不覺走進了布倫茲維克公爵的花園。公爵夫人看到這個小孩那么喜歡讀書，就和他聊天。她發(fā)現(xiàn)原來高斯完全明白他讀的深奧的書中的內容。公

48、爵夫人就把這件事告訴了公爵，公爵也曾聽說在他管轄的領地有一個非常聰明的小孩。于是他派人把高斯叫到了莊園。公爵很喜歡這個害羞的孩子，也賞識他的才能。于是決定給這個樸實、聰明但家境貧寒的學生提供經(jīng)濟援助，讓高斯有機會接受高等教育。公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。這種作用實際上反映了歐洲近代科學發(fā)展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發(fā)展的重要推動因素之一。高斯正處于私人資助科學研究和科學研究社會化的轉變時期。,在

49、公爵的幫助下，15歲的高斯進入了當?shù)匾凰膶W院。在那里他學習古代和現(xiàn)代語言，同時也開始學習高等數(shù)學。他專心閱讀了牛頓、歐拉、拉格朗日等歐洲著名數(shù)學家的著作。他對牛頓特別欽佩，并很快掌握了牛頓的微積分。 1795年10月，公爵又為18歲的高斯支付各種費用，讓他去哥廷根大學學習。哥廷根大學是德國也是全世界的數(shù)學中心，學術風氣濃厚，有大量的數(shù)學藏書，許多外國學生來到這里學習語言、神學、法律和醫(yī)學。這時高斯不知道要讀數(shù)學系還是語言系

50、，盡管這一年他發(fā)明了最小二乘法。因為從實用的觀點來看，當時學數(shù)學不容易找工作。然而，他在數(shù)學上的一個發(fā)現(xiàn)，使他決定要把自己的一生都獻給數(shù)學。這個發(fā)現(xiàn)就是著名的尺規(guī)作圖問題。,上初中時我們就知道，幾何尺規(guī)作圖所使用的工具是有嚴格限制的。只準用圓規(guī)和直尺，并且直尺不能有刻度，也不能用量角器和其它工具。實際上，這種限制來自古希臘并且沿用至今。為什么要加上這樣的限制呢？比如要找一個線段的中點，先用有刻度的尺子去量，看這個線段的長度是多少，再量線

51、段長度的一半就找出中點了。為什么一定要用無刻度的直尺和圓規(guī)去尋求呢？,古希臘人認為，所有的幾何圖形都是由直線段和圓弧構成的。圓是最完美的圖形。他們確信僅靠直尺和圓規(guī)就可作出圖形來。古希臘人講究理性思維，講究精確和嚴謹。他們認為依據(jù)從少數(shù)假定出發(fā)經(jīng)由邏輯把握的東西最可靠。比如求已知線段AB的中點問題，作圖的步驟為：1、以A為圓心，以一適當長度為半徑畫弧。2、以B為圓心，以同樣長度為半徑畫弧。3、兩弧相交于兩點，作兩點的連線，此連線與已知直

52、線的交點即為所求中點。然后，再根據(jù)已知的幾何命題來證明這個點是中點。人們認為，這不僅是可靠的找到了中點，而且體現(xiàn)了一種完美的思路和做法。,數(shù)學家們對正多邊形的尺規(guī)作圖很感興趣。正三角形、正四邊形、正六邊形很好作，正五邊形難作一點，但人們也找到了正五邊形的尺規(guī)作圖方法。那么，正七邊形的尺規(guī)作圖如何作？很久沒找到作正七邊形的方法說明正七邊形不容易作，同時一直沒有找到這種作法也使人懷疑：究竟能否用尺規(guī)作出正七邊形來？在數(shù)學上不容許有這樣的判斷

53、：至今一直沒有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法，就斷言它不能用尺規(guī)作出。 人們迅速解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問題，卻在正七邊形面前止步了。究竟能不能作出得不到答案。這個問題就這樣一直懸而未決了2000多年。,17世紀的法國業(yè)余數(shù)學家費馬，他研究了形如 的數(shù)。費馬猜測 都是素數(shù)。對于 時，易算出相應的,經(jīng)過驗證，這五個數(shù)的確是素數(shù)，那

54、 是否也是素數(shù)呢？僅這一個問題，差不多100年之后才有了一個結論：偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素數(shù)。所以費馬的猜想是錯的。,這個例子也說明了判斷一個較大的數(shù)是否為素數(shù)決不是一件簡單的事。不然，為何要等一百年且需要歐拉這樣的人來解決？,更奇怪的是，不僅 不是素數(shù)， 也不是。 等還不是。甚至，對

55、 也能判斷出它不是素數(shù)。所以至今，人們只知道 這五個數(shù)是素數(shù)。除此之外，沒有發(fā)現(xiàn)其它素數(shù)，所以人們就產(chǎn)生了一個與費馬猜想大相徑庭的猜想：形如 的素數(shù)只有有限個。但對此并未能證明。,形如 的素數(shù)被稱為費馬素數(shù)。由于素數(shù)分解的困難，不僅對形如 的素數(shù)是否只有有限個的一般結論很難作出，而且具體分解某個 也不是一件簡單的事。,更令人

56、驚奇的事發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn) 不是素數(shù)之后的60多年，高斯發(fā)現(xiàn)：當正多邊形的邊數(shù)是費馬素數(shù)時，可以尺規(guī)作圖。他還得出了更一般的結論：正n多邊形可尺規(guī)作圖,回頭來看，正7邊形能否尺規(guī)作圖呢？不能，因為7是素數(shù)，但不是費馬素數(shù)。正17邊形可以尺規(guī)作圖，高斯在18歲時作出了正17邊形。他本人對此頗為欣賞。當他帶著正17邊形可尺規(guī)作圖的證明去找哥廷根大學的數(shù)學教授卡斯特勒時，卡不相信。但高斯很自信，請求卡看看他的證明，但卡只想從高斯的證明

57、中找出錯誤，但高斯仍堅定了從事數(shù)學的信心。本來還在語言學和數(shù)學之間猶豫的他，就毅然選擇了數(shù)學，并且希望去世后，在他的墓碑上刻一個正17邊形，以紀念他一生中第一個重要的發(fā)現(xiàn)。果然在他去世后，哥廷根大學為他建立一個以正17棱柱為底座的紀念像。,根據(jù)高斯的發(fā)現(xiàn)，一位哥廷根大學的教授又作出了正257邊形。就這樣，一個懸而未決2000多年的古老的幾何問題得到了圓滿的解決。而這一問題的解決過程竟與一個沒有猜對的猜想有關。 高斯的理論使我們知

58、道，正3、5邊形為什么能夠尺規(guī)作圖。因為3、5都是費馬素數(shù)。對于正7、11、13邊形，我們可以有把握地說它們不能尺規(guī)作圖。因為7、11、13都不是費馬素數(shù)。對于正257、65537邊形，雖然我們不知道如何具體作，但理論上它們是可以尺規(guī)作圖的。那為什么正4、6邊形可以尺規(guī)作圖呢？因為,在高斯發(fā)現(xiàn)關于正多邊形結果的那天起，他就開始寫他那本著名的數(shù)學日記，這本日記中記載了他的許多數(shù)學發(fā)現(xiàn)和想法。直到高斯死后43年，人們才發(fā)現(xiàn)了這本日記。日記中

59、的所有想法除兩條外，人們都已弄清楚了，包括非歐幾何和非交換代數(shù)的思想、橢圓函數(shù)的雙周期性等。僅其中的一條，如果高斯發(fā)表了，就會贏得數(shù)學上的榮譽，但高斯從沒有發(fā)表過它。因為高斯是一位至善論者，像牛頓那樣，他絕不隨便發(fā)表他的著作。因為他想讓它們變得更優(yōu)美、更完善。他認為，一個大教堂在沒有去掉腳手架之前不能算是一個大教堂。所以他發(fā)表的論文都要達到嚴謹、完整、簡明、優(yōu)美和令人信服。他堅守著自己的格言： 寧肯少些，但要好些。,1799年，

60、高斯呈上了他的博士論文，論文中證明了代數(shù)上的一個重要定理，即代數(shù)基本定理：n次代數(shù)方程在復數(shù)域內都有n個根。這一定理在20世紀前的代數(shù)領域具有核心作用，因而被稱為代數(shù)基本定理。他的存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學研究的新途徑。實際上，在高斯之前有許多數(shù)學家認為已給出了這個結果的證明，可是沒有一個證明是嚴密的。高斯是第一個給出嚴密無誤的證明的數(shù)學家。高斯認為這個定理很重要，在他的一生中給出了4個不同的證明。 高斯沒有錢印刷長篇的博士論文，幸好

61、公爵又一次援助了他，給他錢印刷。雖然他的博士論文順利通過了，被授予了博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有吸引住學生，所以只好回老家。正當他為自己的前途生計擔憂而病倒時，公爵又送給他一幢公寓，負擔了高斯所有的生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。,1807年，高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。洪堡等人的努力，不僅使高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，使高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學學派的創(chuàng)立及德國成為世界科學中心和數(shù)學中心創(chuàng)造了條

62、件。同時，這也標志著科學研究社會化的良好開端。,1806年，公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時，不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕了很長時間，對法國人有一種深深的敵意。資助人去世了，高斯必須找一份合適的工作來維持一家人的生計。德國著名學者洪堡為高斯爭取到了哥廷根大學數(shù)學和天文學教授及哥廷根天文臺臺長的職位。,高斯在許多數(shù)學領域都有重大的貢獻。有人說：“在數(shù)學世界里，高斯處處流芳。” 1.他是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)者之一。 關于非

63、歐幾何的思想，在高斯的日記中早有記載。1816年，他在一封信中透露了他關于歐氏幾何的一些想法。他說，假如歐氏幾何不是唯一的幾何學，就還有另外一種在邏輯上同樣嚴格的幾何學，但這一成果高斯從未發(fā)表過。,3.在復變函數(shù)中，他先后引入了復數(shù)、復平面等概念，給出了復數(shù)的幾何解釋，所以后人將復平面稱為高斯平面。他消除了數(shù)學家對虛數(shù)是否存在的疑慮，提出用i表示虛數(shù)單位，并利用平面向量與復數(shù)間的一一對應關系，奠定了向量分析的方向。,2.在數(shù)論方面

64、 1801年，24歲的高斯出版了名著《算術研究》，開辟了數(shù)論研究的新時代。這使高斯立即躋身于一流數(shù)學家之列。原書共有8章，由于錢不夠只印了7章。在這本書中，第一次介紹了同余的概念、代數(shù)數(shù)及型的理論。這本書不僅標志著現(xiàn)代數(shù)論的開始，而且還確定了現(xiàn)代數(shù)論的研究方向。 數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。高斯認為：數(shù)學是科學之王，數(shù)論是數(shù)學之王。,4.1812年高斯發(fā)表關于超幾何級數(shù)的研究，這在數(shù)學物理中是十分重要的一類特殊函數(shù)

65、。 5.微分幾何的開創(chuàng)者。 現(xiàn)代微分幾何大師陳省身證明過高維的高斯—邦內公式。50歲那年，高斯親自參加野外實地測量，建立了關于曲面研究的系統(tǒng)理論，發(fā)表了論文《關于曲面的一般研究》，開創(chuàng)了微分幾何的先河。后來黎曼又進一步發(fā)展了高斯的曲面理論。現(xiàn)在我們學的微分幾何中有大部分的成果源于高斯的發(fā)現(xiàn)。 6.橢圓函數(shù)論和統(tǒng)計數(shù)學 他十分注重數(shù)學的應用，并且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重于用

66、數(shù)學方法進行研究。,高斯的工作態(tài)度 高斯工作時專心一致。 他很愛他的妻子，曾花了2年的時間寫信追求他，但不幸的是他們結婚4年后妻子就病死了，留下了3個孩子。據(jù)說在妻子病重時，高斯正在研究數(shù)學。仆人匆匆忙忙跑過來告訴他，夫人病得愈來愈嚴重了。高斯好像聽到了，可是他卻繼續(xù)工作。過了不久，仆人又跑過來說，夫人病得很重，要求高斯立即去看看。高斯回答說：“我就來。”可是仍坐在那里沉思。仆人第三次跑過來通知高斯，“夫人快死了，如果您

67、不馬上過去，就見不到她最后一面了?！备咚固痤^，回答說“叫她等一下，我馬上過去?！?這種心無旁騖的工作精神，常人少見。妻子的去世給他很大打擊，幸好，他又娶了妻子的好朋友，后妻對3個孩子很愛護，也明白高斯工作的重要性。,高斯對自己的工作精益求精，非常嚴格地要求自己的研究成果。許多數(shù)學家勸他不要太認真，把想法寫下來發(fā)表對數(shù)學的促進是很有幫助的。但他要讓他的工作無暇的出現(xiàn)在眾人面前。所以他對待科學的態(tài)度始終是謹慎的。他在求解數(shù)學問題時，都有充

68、分的理論依據(jù)，最后才得出結論。他一生只發(fā)表了155篇論文，大量的著作沒有發(fā)表。但奇怪的是，高斯的論文中從不詳細寫明思路，人們很難理解他的數(shù)學思想。對他的評價是：這個人象狐貍似的，把沙土上留下的足跡用尾巴全部掃掉。 美國著名數(shù)學家貝爾在所著的《數(shù)學工作者》一書中曾經(jīng)這樣評價高斯：“在高斯死后，人們才知道他早就預見了19世紀的一些數(shù)學。如果他能把他所知道的一些東西泄漏出來，很可能現(xiàn)在的數(shù)學早比目前還要先進半個世紀或更多時間。阿貝爾和