求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能

1、本節(jié)將以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。,已知粒子所處的勢場為：,2.5一維方勢阱,§2.5.1一維無限深方勢阱,粒子在勢阱內(nèi)勢能為零。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力, 稱為一維無限深方勢阱。,其定態(tài)薛定諤方程為：,2.5一維方勢阱,令：,當(dāng) 時，根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性和有限性條件得：,2.5一維方勢阱,則薛定諤方程可簡寫為：

2、,它的解是：,利用邊界條件 及 ，得,2.5一維方勢阱,解是：,帶入（2.5.1）得體系的能級：,2.5一維方勢阱,顯然，一維無限深方勢阱的能譜是分立譜，這個分離的能譜就是量子化了的能級。,2.5一維方勢阱,由圖可以看出，在不同能級上粒子出現(xiàn)的概率密度是不同的。在基態(tài)，粒子出現(xiàn)的概率在阱區(qū)中部為最大，而越靠近阱壁概率越小，阱壁上概率為零。在激發(fā)態(tài)，粒子在阱內(nèi)出現(xiàn)的概率是起伏變化的，隨著量子數(shù) 的增

3、大，起伏變化越來頻繁。,而在經(jīng)典物理中，粒子在阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率是相等的。,由圖可以推斷，只有當(dāng)量子數(shù) 很大時，粒子在阱內(nèi)各處的概率才趨于均勻。,粒子的最低能量狀態(tài)稱為基態(tài)，就是 的狀態(tài)，基態(tài)能量為此本征值能量稱為零點能，是束縛在無限深方勢阱內(nèi)粒子所具有的最低能量。,2.5一維方勢阱,歸一化以后的波函數(shù)為：,2.5一維方勢阱,2.5一維方勢阱,§2.5.2一維有限深方勢阱,討論 的情況：在

4、 區(qū)，相應(yīng)的薛定諤方程是：,2.5一維方勢阱,在 時， 有界的解是：,在 區(qū)，薛定諤方程是：,2.5一維方勢阱,其解為,一、在 區(qū)，取 ，解取有偶宇稱的情況,利用 處波函數(shù)對數(shù)微商的連續(xù)條件都可得,引入,2.5一維方勢阱,可將（2.5.3）是改寫為,另外，又（2.5.1）和（2.5.2）有可得,聯(lián)立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出

5、 ，再由（2.5.4）可給出能譜。,2.5一維方勢阱,二、在 區(qū)，取 ，解取有奇宇稱的情況,同樣，利用波函數(shù)對數(shù)微商在 連續(xù)條件得：,同樣，聯(lián)立（2.5.6）--（2.5.7）式，解出 ，再由（2.5.4）可給出能譜。,（2.5.5）--（2.5.7）都是超越方程，可用圖解法求出能譜。,2.5一維方勢阱,在 平面中分別就（2.5.5）與（2.5.6）式作相

6、應(yīng)的曲線，曲線的交點表示具有偶宇稱是相應(yīng)的能譜。如右圖。,由以上圖可見，對于偶宇稱態(tài)，由于曲線 經(jīng)過原點，因此無論 多么小，兩條曲線總有交點，這意味著至少有一個束縛態(tài)，且相應(yīng)的宇稱為偶。,2.5一維方勢阱,同樣，作（2.5.6）和（2.5.7）式相應(yīng)曲線，他們的交點表示波函數(shù)其宇稱時相應(yīng)的能譜。所得結(jié)果見右圖。,由以上圖可見，對于奇宇稱態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng) 時，即當(dāng)