模糊數學3水平截集、最大隸屬原則

1、第一章 模糊集合的一般概念,§1.1 模糊子集的定義及運算§1.2 水平截集、分解定理、擴張原則,§1.2.1 水平截集,§1.2.1 水平截集,引例：5位應試者參加的選拔考試中， 5位應試者及其成績如下表所示（百分制）：,如何按“擇優(yōu)錄取”的原則來挑選優(yōu)勝者,設模糊子集 表示“優(yōu)勝者”，以各人成績與最高分的比值作為屬于 的隸屬度。,§1.2.1 水平截集

2、,“優(yōu)勝者”的模糊子集,“及格者”,“優(yōu)良者”,“優(yōu)秀者”,“滿分者”,§1.2.1 水平截集,實際問題的某個時刻，需要判斷某個元素對模糊子集的明確歸屬，這就要求模糊子集與普通集合可以依據某種法則相互轉化。,需要一種溝通模糊子集和普通集合的辦法。若對模糊子集給出一個確定的閾值 ，則模糊子集的元素可分成“非此即彼”的兩種情形： 。于是，誘導出在

3、意義下的普通集合。,§1.2.1 水平截集,定義 1.2.1 水平截集,§1.2.1 水平截集,水平截集的性質：,§1.2.1 水平截集,水平截集的性質：,（1）,（2）,性質（2）說明截集水平 越低， 越大；反之，截集水平 越高， 越小,從圖中可見，當 的取值從1逐漸減小而到0時，相應的 逐漸擴展，從而得到一系列普通集合。,

4、67;1.2.2 分解定理,定義1. 2.2 數乘,設 是論域U上的一個模糊子集( )， 由 構成一個新的模糊子集，記為 ，其隸屬函數為 稱 為數 與模糊子集 的數乘。,特別地，當 為普通集合時：,如果把 視為

5、模糊子集，其隸屬函數為：,§1.2.2 分解定理,§1.2.2 分解定理,分解定理：,任取 ，可將 切割為 ，而將所有的 拼湊起來組成 ，就得到 ，即任何一個模糊子集可由一類集合套來表示,當 遍取 中，對 的值就是含有元素 的一切 中的最大的

6、 值。,分解定理給出利用普通集合 表示模糊子集 的理論依據和實際做法。,當 遍取[0,1] 中的實數時，按模糊子集求并運算的規(guī)則， 恰好取各 點隸屬函數的最大值，將這些點連成一條曲線，正是模糊子集 的隸屬函數。,§1.2.3 擴張原則,水平截集說明了模糊子集向普通集合的轉化過程；分解定理則是相反過程，利用一系列普通集合（集合套）求并得到模糊子集，從而將模糊集合論

7、中的問題轉化到普通集合論的問題來解決。,而擴張原則卻是把普通集合論的方法直接擴展到模糊集合論。,論域U上模糊子集 在 下的象？,1975年，zadeh，公理,§1.2.3 擴張原則,給定兩個論域U、V，以及映射,則對 是論域V上的一個模糊子集，即其隸屬函數為如果沒有 使得 ，則規(guī)定

8、 。,0.8,0.7,0.5,,,,0.8,0.5,0,,映射后的隸屬度保持不變！擴張原則把普通集合論的方法直接擴展到模糊集合論。,§1.3.1 最大隸屬原則,模式識別：對所研究的具體對象，根據它的某些特征進行識別并分類。,這種分類是在已知模式的前提下進行的，也就是將整體劃分為若干類型，作為一組標準模式。對于某個具體對象，判別它屬于那個模式，即屬于那一類。,整體被劃分的類型（模式）和被識別的對象，如果是某個論域中的模

9、糊子集，這種模式識別就稱為模糊模式識別。,§1.3.1 最大隸屬原則,整體被劃分的類型（模式）和被識別的對象，如果是某個論域中的模糊子集，這種模式識別就稱為模糊模式識別。,直接方法：對象為單個確定的元素，通過直接計算被識別對象的隸屬函數以判別其屬于那個模糊子集，最大（極大）隸屬原則。,間接方法：對象為群體，模糊子集，判別與那一種已知的模糊子集最“貼近”，擇近原則。,研究：模式為論域U中的n個模糊子集被識別的對象分為單個確定

10、的元素或模糊子集,模式識別主要包括三個步驟 :,提取特征，首先需要從識別對象中提取與識別有關的特征，并度量這些特征，于是每個識別對象就對應一個向量，建立訓練樣本。建立標準類型的隸屬函數，標準類型通常是論域上的模糊子集。建立識別判決準則，確定某些歸屬原則，以判定識別對象屬于哪一個標準類型。,常用的判決準則有最大隸屬度原則（直接法）和擇近原則（間接法）兩種。,實例：蘋果等級識別,訓練樣本集的建立：從蘋果的橫徑、色澤以及果形指數三個方面把

11、蘋果分為四類，精品果、二級果、三級果、四級果。樣本集訓練步驟:原始數據標準化等，建立標準類型（模式）－聚類分析。試驗結果：對52個蘋果進行訓練，精品果、二級果、三級果、四級果各30個，正確率達到95％ 。,“模糊模式識別在計算機識別中的應用研究”， 張娜等，微計算機信息，2004，20（6）,§1.3.1 最大隸屬原則,例1： ，論域U 上有三個模糊子集

12、 （研究能力強）， （一般）， （差）：,那么，甲、乙、丙應歸于那一類？,§1.3.2 應用實例,例2：三角形識別問題,機器自動識別染色體或白血球分類，應用幾何圖形識別,設三角形論域現給出各種類型的三角形隸屬函數。,1. 近似等腰三角形 ，其隸屬函數為,A與B（或 B與C）愈接近，三角形 愈接近等腰三角形，即隸屬度趨于1。,2. 近似直角三角形 ，其隸屬函數為

13、,例2：三角形識別問題,1. 近似等腰三角形 ，,2. 近似直角三角形 ，,3. 近似正三角形 ，,4. 近似等腰直角三角形 ，,5. 非典型三角形 ，,三角形內角分別為：