【精品】導(dǎo)數(shù)放縮必備題型

1、1上次發(fā)貼介紹了下2014年課標(biāo)1卷的放縮做法，發(fā)現(xiàn)很多人不太懂放縮，而且吧里似乎沒有專門講解放縮的貼子。鑒于本人是河北人，研究過一些導(dǎo)數(shù)里較難的題，比如數(shù)列不等式，所以斗膽在此發(fā)表一些自己的心得，希望大家能獲益。數(shù)學(xué)老手，貼吧新手，發(fā)帖有什么不好的地方請(qǐng)輕噴。此貼思路是這樣的，先介紹放縮的思想、應(yīng)用及注意事項(xiàng)，然后簡(jiǎn)單提下數(shù)列中的放縮，再重點(diǎn)介紹函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的放縮，拓展一些知識(shí)，附上一些例題。從最簡(jiǎn)單的例子開始比如我們要證明π＞e，我

2、們知道π＞3，3＞e。我們可以把要證的不等式π＞e左邊的π縮小為33比e大是對(duì)的，π比e大就得證。同理也可把右邊的e放大為3。上面的例子太過簡(jiǎn)單，真到復(fù)雜的情況，可能你似懂非懂的了解了放縮但還是應(yīng)用不上，真的理解還是要靠題目。直接來(lái)到高大上的題，搞清了就理解放縮了。第一問略過（等號(hào)左邊的取對(duì)數(shù)易證，等號(hào)右邊把帖子看完就知道多好證了）第二問說(shuō)思路，首先這個(gè)式子太過龐大，有指數(shù)有三角，而且不管怎么變形求導(dǎo)，都無(wú)法消除其中一種，所以常規(guī)法是很

3、難做甚至是不可做的。再看第一問有放縮的提示，所以考慮放縮。如果1x≥g（x）這時(shí)求得a≤3，那么這個(gè)范圍內(nèi)f（x）≥g（x）的，或者說(shuō)這個(gè)范圍就是一個(gè)充分條件，我們只須論證其必要性。也就是證a＞3時(shí)f（x）≥g（x）不成立，即g（x）＞f（x），這時(shí)再把f（x）放大為1（1x）與g（x）比較，在a＞3時(shí)，作差求導(dǎo)得出g（x）＞f（x），所以a≤3為充要條件。詳答不放，重要的是思路，計(jì)算過程現(xiàn)在都可以不算，只要把這個(gè)思路倒騰清楚，放縮思想

4、基本就有了，而且不局限在證明不等式了。注意事項(xiàng):第一：放縮要注意尺度，比如證π＞e，你要是想到了π＞2，然后想用2＞e來(lái)證明，那當(dāng)然不行，你放縮的尺度太大了，復(fù)雜題中，有時(shí)這尺度不容易把握。第二：看清楚不等號(hào)及放縮方向，有時(shí)你做著做著就蒙了，就看不清了。比如你要證π＞e，你想到了e＞2，一看π＞2，以為自己證出來(lái)了，其實(shí)呢，你已經(jīng)暈了。這個(gè)例子你看著滑稽，自己做難題時(shí)這種情況而正常。第三：注意有放有留，在數(shù)列中常用，我們通常把數(shù)列的第一

5、項(xiàng)或者前兩項(xiàng)不進(jìn)行放縮，只放縮后面的，借此來(lái)控制放縮的尺度（因?yàn)橛袝r(shí)前面的項(xiàng)放縮會(huì)尺度過大）。更高端的，我們可以把數(shù)列的后面的拿出n項(xiàng)來(lái)，只對(duì)后面的n項(xiàng)放縮，而不放縮前面的（因?yàn)橛袝r(shí)后面的放縮會(huì)尺度過大）。第三條中更更高端的，我們可以借項(xiàng)。比如數(shù)列an=n，其前n項(xiàng)和本應(yīng)為1234……n我們可以寫為1234……n【（n1）（n2）……2n】【（n1）（n2）……2n】，就是加上n項(xiàng)再減去n項(xiàng)，然后對(duì)減去的n項(xiàng)或加上的n項(xiàng)進(jìn)行放縮（之所以

6、要放縮減去的那些項(xiàng)，是因?yàn)橛袝r(shí)候不等號(hào)方向和你已知的放縮式子可能不合適，但如果放縮減號(hào)后的那些項(xiàng)可以解決這個(gè)問題）現(xiàn)在來(lái)介紹下數(shù)列中的放縮，河北數(shù)列難度小，所以我了解的不如導(dǎo)數(shù)多，只舉三個(gè)例子吧。第一，腦筋急轉(zhuǎn)彎型放縮，平凡之中暗藏坑爹，此類題題號(hào)靠前，難度不大，卻可以很坑爹。例：求證1（n1）1（n2）1(n3)......1(nn)＜1難嗎，有沒有發(fā)現(xiàn)左邊n個(gè)式子每一項(xiàng)都比1n小，那n個(gè)合起來(lái)當(dāng)然比1小了，這不這么顯然嗎？如果你考試

7、時(shí)做不出來(lái)，請(qǐng)拿出小學(xué)生考你腦筋急轉(zhuǎn)彎你答不出來(lái)的心態(tài)來(lái)。第二條較常用（導(dǎo)數(shù)中有道數(shù)列不等式也要用它，在此只舉一例）3然后給出高中階段常用的放縮的不等式，推薦背過，題里一般會(huì)提示，若無(wú)提示，用這些也有可能讓題目簡(jiǎn)單。e^x≥x1x1≥lnx≥11x√1x≤1x2（根號(hào)不會(huì)打……，平方下就知道這式子怎么來(lái)的了。）1x^22≤cosx≤1x^24（在π到π上）對(duì)實(shí)數(shù)x1，在n≥1時(shí)，有(1x)n≥1nx成立；在0≤n≤1時(shí)，有(1x)^n≤