高中數(shù)學(xué)-解三角形知識(shí)點(diǎn)匯總及典型例題1

1、解三角形的必備知識(shí)和典型例題及詳解 解三角形的必備知識(shí)和典型例題及詳解一、知識(shí)必備：1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。 （勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ 。 cacbba2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：在△A

2、BC 中，A、B、C 為其內(nèi)角，a、b、c 分別表示 A、B、C 的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（R 為外接圓半徑） R CcBbAa 2 sin sin sin ? ? ?（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2

3、－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1） ＝ aha＝ bhb＝ chc（ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 上的高） ； ? S 212121（2） ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB； ? S 2121214．解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形．廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑

4、、面積等等．主要類(lèi)型：（1）兩類(lèi)正弦定理解三角形的問(wèn)題：第 1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第 2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類(lèi)余弦定理解三角形的問(wèn)題：第 1、已知三邊求三角.00sin 20sin76 30( ). sin sin40 ? ? ? a C c cm A②當(dāng) 時(shí)， 0 116 ? B，0 0 0 0 0 180 ( ) 180 (40 116 ) 24 ? ? ? ? ? ? ? C A

5、B00sin 20sin24 13( ). sin sin40 ? ? ? a C c cm A點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；（2）對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器題型 題型 2：三角形面積 ：三角形面積例 2．在 中， ， ， ，求 的值和 的面積。 ?ABC sin cos A A ? ? 22 AC ? 2 3 ? AB A tan ?ABC解法一：先解三角方程，求出角

6、A 的值。. 21 ) 45 cos(, 22 ) 45 cos( 2 cos sin? ? ?? ? ? ??? ?AA A A又 , 0 180 ? ? ? ? A 45 60 , 105 . A A ? ? ? ? ? ? ?, 1 3 tan tan(45 60 ) 2 31 3A ? ? ? ? ? ? ? ??? ?.46 2 60 sin 45 cos 60 cos 45 sin ) 60 45 sin( 105 sin

7、 sin ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? A。 S AC AB A ABC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1212 2 3 2 6434 2 6 sin ( )解法二：由 計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式 的值。 sin cos A A ? sin cos A A ?① ?sin cos A A ? ? 222 1 (sin cos ) 21 2sin cos 20 180 , sin 0,cos 0.1 (sin2