高中數(shù)學-解三角形知識點匯總及典型例題1

1、解三角形的必備知識和典型例題及詳解 解三角形的必備知識和典型例題及詳解一、知識必備：1．直角三角形中各元素間的關系：在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2。 （勾股定理）（2）銳角之間的關系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ 。 cacbba2．斜三角形中各元素間的關系：在△A

2、BC 中，A、B、C 為其內(nèi)角，a、b、c 分別表示 A、B、C 的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等（R 為外接圓半徑） R CcBbAa 2 sin sin sin ? ? ?（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2

3、－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1） ＝ aha＝ bhb＝ chc（ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 上的高） ； ? S 212121（2） ＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB； ? S 2121214．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑

4、、面積等等．主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第 1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第 2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：第 1、已知三邊求三角.00sin 20sin76 30( ). sin sin40 ? ? ? a C c cm A②當 時， 0 116 ? B，0 0 0 0 0 180 ( ) 180 (40 116 ) 24 ? ? ? ? ? ? ? C A

5、B00sin 20sin24 13( ). sin sin40 ? ? ? a C c cm A點評：應用正弦定理時（1）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復雜運算可使用計算器題型 題型 2：三角形面積 ：三角形面積例 2．在 中， ， ， ，求 的值和 的面積。 ?ABC sin cos A A ? ? 22 AC ? 2 3 ? AB A tan ?ABC解法一：先解三角方程，求出角

6、A 的值。. 21 ) 45 cos(, 22 ) 45 cos( 2 cos sin? ? ?? ? ? ??? ?AA A A又 , 0 180 ? ? ? ? A 45 60 , 105 . A A ? ? ? ? ? ? ?, 1 3 tan tan(45 60 ) 2 31 3A ? ? ? ? ? ? ? ??? ?.46 2 60 sin 45 cos 60 cos 45 sin ) 60 45 sin( 105 sin

7、 sin ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? A。 S AC AB A ABC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1212 2 3 2 6434 2 6 sin ( )解法二：由 計算它的對偶關系式 的值。 sin cos A A ? sin cos A A ?① ?sin cos A A ? ? 222 1 (sin cos ) 21 2sin cos 20 180 , sin 0,cos 0.1 (sin2