帶耗散機(jī)制的雙曲方程解的大時(shí)間行為.pdf

1、本文主要考慮了帶耗散機(jī)制的雙曲方程解的大時(shí)間行為。本文的主要內(nèi)容如下：
　　第一章為緒論，在這里，我們回顧了帶分?jǐn)?shù)階耗散項(xiàng)的Burgers方程，兩維的帶擾動(dòng)項(xiàng)的Hasegawa-Mima方程和兩維的粘性淺水波方程的物理背景及研究歷史，并介紹了我們所研究的方程及其相關(guān)結(jié)論。
　　第二章中，我們研究了帶分?jǐn)?shù)階耗散項(xiàng)的Burgers方程周期大解的整體存在性和大時(shí)間行為。在第一節(jié)中，我們研究的是分?jǐn)?shù)階的Burgers方程周期大解的漸

2、近性態(tài)。首先利用迭代的方法得到了局部解的存在性，然后利用極大值原理和一些精細(xì)的不等式我們得到解的指數(shù)級(jí)衰減估計(jì)，最后由局部解的存在性和解的指數(shù)級(jí)衰減，利用經(jīng)典的連續(xù)性辦法得到了分?jǐn)?shù)階Burgers方程周期大解的整體存在性。同時(shí)，我們還得到了此周期大解關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)性。在第二節(jié)中，我們以附錄的形式給出了帶分?jǐn)?shù)階耗散項(xiàng)的Quasi-Geostrophic方程周期大解也有指數(shù)級(jí)的衰減估計(jì)。由于其證明過(guò)程類似于本章第一節(jié)中的證明過(guò)程，為避免繁

3、冗，我們這里不再給出具體的證明過(guò)程。
　　第三章中，我們考慮了兩維的帶擾動(dòng)項(xiàng)的Hasegawa-Mima方程解的整體存在性和逐點(diǎn)估計(jì)。在第一節(jié)中，我們給出了幾個(gè)重要的引理，這些引理為我們后面的證明提供了有力的理論工具。在第二節(jié)中，我們給出了本章所研究的方程和主要結(jié)果。在第三節(jié)中，利用能量的辦法得到了解的整體存在性。第四節(jié)中，我們利用Green函數(shù)方法得到了兩維的帶擾動(dòng)項(xiàng)的Hasegawa-Mima方程解的逐點(diǎn)估計(jì)。首先通過(guò)對(duì)線性化

4、問(wèn)題Green函數(shù)的研究，我們得到Green函數(shù)的逐點(diǎn)估計(jì)。并利用Duhamel原理將非線性微分方程轉(zhuǎn)換成非線性積分方程。然后利用Green函數(shù)的逐點(diǎn)估計(jì)，我們獲得當(dāng)初始值在一個(gè)常狀態(tài)附近擾動(dòng)時(shí)非線性方程解的逐點(diǎn)收斂速度。研究發(fā)現(xiàn)，解隨時(shí)間增加不斷地耗散，與此同時(shí)解的主部向某個(gè)方向在平移。
　　第四章中，我們考慮的是兩維的粘性淺水波方程解的逐點(diǎn)估計(jì)。由于粘性淺水波方程的非線性項(xiàng)不能像Navier-Stokes方程那樣可以寫成某個(gè)函

5、數(shù)散度或者導(dǎo)數(shù)的形式，這樣我們就不能把非線性項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到Green函數(shù)上面，也就是說(shuō)不能通過(guò)這樣的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移來(lái)增加Green函數(shù)的衰減速度，從而導(dǎo)致我們?cè)谧C明非線性方程組解的逐點(diǎn)估計(jì)時(shí)會(huì)遇到解的逐點(diǎn)估計(jì)和先驗(yàn)估計(jì)不能吻合起來(lái)的困難。為了克服這個(gè)困難，我們首先要對(duì)原方程做一個(gè)等價(jià)變形。變形后的方程變成流體表面高度h(x,t)和流體動(dòng)量h(x,t)u(x,t)作為未知函數(shù)的方程，然后利用經(jīng)典的Green函數(shù)的方法來(lái)研究變形后的方程組。首先