自適應(yīng)變系數(shù)模型中的局部多項(xiàng)式估計(jì)法.pdf

1、變系數(shù)模型是20世紀(jì)90年代發(fā)展起來(lái)的一種重要的統(tǒng)計(jì)模型.該模型最早是由Hastie，Tibshirani(1993)提出的.在非參數(shù)回歸中，對(duì)函數(shù)的估計(jì)已有核估計(jì)、局部多項(xiàng)式估計(jì)、光滑樣條估計(jì)、級(jí)數(shù)估計(jì)等，這些方法在處理一維數(shù)據(jù)時(shí)處理能力較好，但在高維分析中，由于高維領(lǐng)域所包含的樣本數(shù)據(jù)顯得稀疏，較難估計(jì)一般的多元函數(shù).可是在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常遇到的是高維數(shù)據(jù)，高維數(shù)據(jù)分析是人們一直關(guān)心的問(wèn)題，變系數(shù)模型是統(tǒng)計(jì)工作者針對(duì)處理高維數(shù)據(jù)

2、時(shí)遇到的困難而提出的一種統(tǒng)計(jì)模型.它既部分保留了非參數(shù)回歸的穩(wěn)健性特點(diǎn)，又保留了線性模型的直觀、容易解釋等特點(diǎn).
　　 本文研究的自適應(yīng)變系數(shù)模型是一類重要的變系數(shù)模型，它是由Jianqing Fan，Qiwei Yao和Zongwu Cai(2000)提出的.在實(shí)踐中，該模型已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融保險(xiǎn)等方面.
　　 自適應(yīng)變系數(shù)模型如下：Yi=p∑j=0 gj(βT Xi)Xij i=1，2，…，n

3、.其中{(Yi，Xi)｝n i=1是隨機(jī)樣本，未知量β∈Rp，Xi=(Xi1，Xi2，…，Xip)T，Xi0=1，{gj(·)｝p j=0是R上的一組可測(cè)函數(shù).｛εi}n i=1是獨(dú)立同分布的隨機(jī)誤差，且滿足E(εi)=0，Var(εi)=σ2.
　　 變系數(shù)模型的估計(jì)理論已經(jīng)較為完善，如：Jianqing Fan and ZhangW.Y(1999)給出了局部多項(xiàng)式的兩步估計(jì)法；唐慶國(guó)，王金德(2005)提出了一步估計(jì)方法用以

4、估計(jì)變系數(shù)模型中的具有不同光滑程度的未知系數(shù)函數(shù)；針對(duì)不太光滑的未知系數(shù)函數(shù)的估計(jì)，唐慶國(guó)(2007)提出了一種新的局部線性估計(jì)法.但是，關(guān)于自適應(yīng)變系數(shù)模型的研究成果的文章還較少，因此，本文對(duì)于自適應(yīng)變系數(shù)模型的估計(jì)的研究有一定的理論價(jià)值.
　　 相對(duì)于變系數(shù)模型的統(tǒng)計(jì)推斷，自適應(yīng)變系數(shù)模型中，除了要對(duì)其系數(shù)函數(shù)估計(jì)，還要對(duì)其投影方向進(jìn)行估計(jì)，因此，變系數(shù)模型的推斷方法不能直接應(yīng)用于自適應(yīng)變系數(shù)模型的推斷.本文對(duì)自適應(yīng)變系數(shù)模

5、型的系數(shù)函數(shù)的估計(jì)進(jìn)行了討論，將局部多項(xiàng)式估計(jì)法運(yùn)用到自適應(yīng)變系數(shù)模型中系數(shù)函數(shù)的估計(jì)上來(lái)，并討論了各個(gè)估計(jì)量的漸近性質(zhì)，然后再對(duì)投影方向進(jìn)行估計(jì).
　　 主要內(nèi)容如下：
　　 第一章，主要介紹了自適應(yīng)變系數(shù)模型和一些非參數(shù)方法.
　　 第二章，首先，我們是在給定β的條件下，對(duì)于系數(shù)函數(shù)光滑程度相同時(shí)，用第一章中介紹的局部線性估計(jì)法給出其估計(jì)，并且證明了其漸近正態(tài)性.其次，在給定系數(shù)函數(shù)的條件下，對(duì)參數(shù)β進(jìn)行了估

6、計(jì).
　　 第三章，在給定β的條件下，首先，對(duì)于光滑程度較高的第p個(gè)系數(shù)函數(shù)，我們用局部多項(xiàng)式估計(jì)法給出其一步與兩步估計(jì)，分別計(jì)算了這兩個(gè)估計(jì)的漸近偏差和漸近方差，并得出二步估計(jì)要優(yōu)于一步估計(jì)的結(jié)論.其次，對(duì)于其他p-1個(gè)光滑程度較低的系數(shù)函數(shù)，用局部線性估計(jì)法也做了局部線性估計(jì)與二步估計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)兩種估計(jì)的漸近偏差相同，而用二步估計(jì)得到的估計(jì)的漸近方差都要小于局部線性估計(jì)的漸近方差，即二步估計(jì)要優(yōu)于局部線性估計(jì).最后，在給定系