自適應變系數(shù)模型中的局部多項式估計法.pdf

1、變系數(shù)模型是20世紀90年代發(fā)展起來的一種重要的統(tǒng)計模型.該模型最早是由Hastie，Tibshirani(1993)提出的.在非參數(shù)回歸中，對函數(shù)的估計已有核估計、局部多項式估計、光滑樣條估計、級數(shù)估計等，這些方法在處理一維數(shù)據(jù)時處理能力較好，但在高維分析中，由于高維領域所包含的樣本數(shù)據(jù)顯得稀疏，較難估計一般的多元函數(shù).可是在實際生活中，我們經(jīng)常遇到的是高維數(shù)據(jù)，高維數(shù)據(jù)分析是人們一直關心的問題，變系數(shù)模型是統(tǒng)計工作者針對處理高維數(shù)據(jù)

2、時遇到的困難而提出的一種統(tǒng)計模型.它既部分保留了非參數(shù)回歸的穩(wěn)健性特點，又保留了線性模型的直觀、容易解釋等特點.
　　 本文研究的自適應變系數(shù)模型是一類重要的變系數(shù)模型，它是由Jianqing Fan，Qiwei Yao和Zongwu Cai(2000)提出的.在實踐中，該模型已經(jīng)被廣泛地應用于醫(yī)學、生物、經(jīng)濟學、金融保險等方面.
　　 自適應變系數(shù)模型如下：Yi=p∑j=0 gj(βT Xi)Xij i=1，2，…，n

3、.其中{(Yi，Xi)｝n i=1是隨機樣本，未知量β∈Rp，Xi=(Xi1，Xi2，…，Xip)T，Xi0=1，{gj(·)｝p j=0是R上的一組可測函數(shù).｛εi}n i=1是獨立同分布的隨機誤差，且滿足E(εi)=0，Var(εi)=σ2.
　　 變系數(shù)模型的估計理論已經(jīng)較為完善，如：Jianqing Fan and ZhangW.Y(1999)給出了局部多項式的兩步估計法；唐慶國，王金德(2005)提出了一步估計方法用以

4、估計變系數(shù)模型中的具有不同光滑程度的未知系數(shù)函數(shù)；針對不太光滑的未知系數(shù)函數(shù)的估計，唐慶國(2007)提出了一種新的局部線性估計法.但是，關于自適應變系數(shù)模型的研究成果的文章還較少，因此，本文對于自適應變系數(shù)模型的估計的研究有一定的理論價值.
　　 相對于變系數(shù)模型的統(tǒng)計推斷，自適應變系數(shù)模型中，除了要對其系數(shù)函數(shù)估計，還要對其投影方向進行估計，因此，變系數(shù)模型的推斷方法不能直接應用于自適應變系數(shù)模型的推斷.本文對自適應變系數(shù)模

5、型的系數(shù)函數(shù)的估計進行了討論，將局部多項式估計法運用到自適應變系數(shù)模型中系數(shù)函數(shù)的估計上來，并討論了各個估計量的漸近性質，然后再對投影方向進行估計.
　　 主要內(nèi)容如下：
　　 第一章，主要介紹了自適應變系數(shù)模型和一些非參數(shù)方法.
　　 第二章，首先，我們是在給定β的條件下，對于系數(shù)函數(shù)光滑程度相同時，用第一章中介紹的局部線性估計法給出其估計，并且證明了其漸近正態(tài)性.其次，在給定系數(shù)函數(shù)的條件下，對參數(shù)β進行了估

6、計.
　　 第三章，在給定β的條件下，首先，對于光滑程度較高的第p個系數(shù)函數(shù)，我們用局部多項式估計法給出其一步與兩步估計，分別計算了這兩個估計的漸近偏差和漸近方差，并得出二步估計要優(yōu)于一步估計的結論.其次，對于其他p-1個光滑程度較低的系數(shù)函數(shù)，用局部線性估計法也做了局部線性估計與二步估計，我們發(fā)現(xiàn)兩種估計的漸近偏差相同，而用二步估計得到的估計的漸近方差都要小于局部線性估計的漸近方差，即二步估計要優(yōu)于局部線性估計.最后，在給定系