約束在彎曲曲面上運(yùn)動(dòng)的粒子動(dòng)量和動(dòng)能算符.pdf

1、約束在量子點(diǎn)上的量子運(yùn)動(dòng)是目前凝聚態(tài)物理研究的一個(gè)熱點(diǎn)。一個(gè)很有意思的問題是量子點(diǎn)的幾何形狀，除了典型的球形和橢球形外，還有面包圈和M?bius環(huán)等形狀。這些研究提出了一個(gè)基礎(chǔ)性的研究課題：在經(jīng)典力學(xué)中，對(duì)約束在曲面上粒子運(yùn)動(dòng)的描述可以在內(nèi)部坐標(biāo)即曲面局部坐標(biāo)下進(jìn)行，也可以在外部坐標(biāo)即在笛卡爾坐標(biāo)下進(jìn)行。在微分幾何中，對(duì)曲面的研究可以利用內(nèi)稟(intrinsic)幾何和外部(extrinsic)幾何這兩種互補(bǔ)也是基本的基本方法進(jìn)行。但是

2、量子力學(xué)的傳統(tǒng)(其實(shí)也是整個(gè)現(xiàn)代物理例如廣義相對(duì)論和規(guī)范場(chǎng)的研究傳統(tǒng))是只用內(nèi)部坐標(biāo)即曲面局部坐標(biāo)，或者說從內(nèi)稟的角度，對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。那么是否可以也從三維笛卡爾坐標(biāo)下進(jìn)行？ 這個(gè)問題的數(shù)學(xué)表述如下：對(duì)于一個(gè)二維正則曲面，需兩個(gè)參量來對(duì)曲面進(jìn)行曲面化(例如 )，這樣，曲面方程就是：此時(shí)的厄密動(dòng)量算符稱為笛卡爾動(dòng)量算符。它和曲面上的正則動(dòng)量完全不同。這一正則動(dòng)量一般來說不是有界算符(例如徑向動(dòng)量 )，而且由于坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換而改變，一

3、直受到數(shù)學(xué)物理界的責(zé)難。 從2003年已經(jīng)開始，我們開始研究笛卡爾動(dòng)量算符。在有關(guān)研究的基礎(chǔ)上，本論文證明了笛卡爾動(dòng)量算符具有如下形式，，其中是一個(gè)幾何不變量，稱為平均曲率矢量場(chǎng)。這是一個(gè)不隨坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換而改變的量。 進(jìn)一步，體系Hamilton量似應(yīng)為，。其實(shí)這是不行的，正確的哈密頓應(yīng)為，或：，或：，其中為的非平凡函數(shù)。這是一類新的算符次序問題。本文還給出了這些函數(shù)滿足的微分方程，并在一些具體例子中給出了方程的解。