非線性多點(diǎn)邊值問題的正解及其應(yīng)用.pdf

1、常微分方程邊值問題在經(jīng)典力學(xué)和電學(xué)中有著極為豐富的源泉，它是常微分方程學(xué)科的重要組成部分之一．常微分方程兩點(diǎn)邊值問題(如Dirichlet邊值問題、Neumann邊值問題、Robin邊值問題、Strum-Liouville邊值問題等)已被深入而廣泛的研究，并取得了系統(tǒng)而深刻的結(jié)果．事實(shí)上，自1893年P(guān)icard運(yùn)用迭代法討論非線性二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問題解的存在性和唯一性之后，常微分方程兩點(diǎn)邊值問題的研究獲得了蓬勃發(fā)展． 2

2、0世紀(jì)以來，泛函分析逐漸成為研究常微分方程邊值問題的重要理論基礎(chǔ)．事實(shí)上，常微分運(yùn)算和積分運(yùn)算的共同特征是，它們作用到一個(gè)函數(shù)后都得出新的函數(shù)，可以將這些運(yùn)算統(tǒng)一抽象為算子．泛函分析正是在算子概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的．上世紀(jì)30年代中期法國(guó)數(shù)學(xué)家勒雷(J．Leray)和紹德爾(J．Schauder)建立了Leray-Schauder度理論．他們的方法用于研究線性微分、積分、泛函方程時(shí)，取得了巨大的成功．尤其是這種理論對(duì)常微分方程邊值問題的

3、應(yīng)用，形成了常微分方程拓?fù)浞椒ɑ蚍汉椒╗56]-[60]．其核心是各類不動(dòng)點(diǎn)定理的建立和應(yīng)用． 在泛函分析理論和實(shí)際問題的推動(dòng)下，常微分方程邊值問題的研究在近半個(gè)世紀(jì)里發(fā)展十分迅速[1]-[55]．除了傳統(tǒng)的二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問題之外，開始研究高階微分方程的邊值問題．并且隨著新問題的出現(xiàn)，形成了許多新的研究方向一奇異邊值問題，無窮區(qū)間上的邊值問題，帶p-Laplace算子或Laplace-like(拉普拉斯型)算子的微分方

4、程邊值問題，常微分方程多點(diǎn)邊值問題[1]-[48]，常微分方程脈沖邊值問題．取得了一系列研究成果，成為一個(gè)經(jīng)久不衰的研究熱點(diǎn)。 本文利用錐理論，上下解方法，單調(diào)迭代方法，錐拉伸壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論等首次對(duì)非線性奇異多點(diǎn)邊值問題正解存在的充分必要條件進(jìn)行了研究，得到了一些新的結(jié)果．這些結(jié)果大都已經(jīng)發(fā)表在國(guó)內(nèi)外重要的學(xué)術(shù)期刊上，如美國(guó)的J．Math．Anal．Appl．(SCI)、英國(guó)的Appl．Math．Comput．(

5、SCI)、加拿大的Dynamic of Continuous，Discrete and Implsive Systems(SCI)及韓國(guó)的Nonlinear Funct．Anal．Appl．等． 全文共分為五章． 在第一章我們通過采用最大值原理，單調(diào)迭代技巧和上下解方法研究了一類非線性奇異次線性三點(diǎn)邊值問題，得到了C[0，1]和C1[0，1]正解存在的充分必要條件，同時(shí)我們也對(duì)C1[0，1]正解的唯一性，單調(diào)迭代方法以及

6、收斂率進(jìn)行了探討． 第二章是第一章的繼續(xù)，在這一章里我們?cè)诟鼘捤傻臈l件下對(duì)第一章中的問題進(jìn)行了探討，得出了類似的結(jié)果． 第三章在非線性項(xiàng)混和單調(diào)的情形下，對(duì)一類非線性奇異三點(diǎn)邊值問題進(jìn)行了探討，得出了C[0，1]正解存在的充分必要條件，部分地?cái)U(kuò)充了第一章，第二章的結(jié)果． 第四章通過建立新的最大值原理，在非線性項(xiàng)混和單調(diào)的前提下，我們研究了一類非線性奇異m點(diǎn)邊值問題，得出了光滑正解存在的充分必要條件，并且指出了在一