幾類光滑與非光滑系統(tǒng)的周期解問題.pdf

1、本文首先對(duì)推廣的Melnikov函數(shù)方法進(jìn)行了補(bǔ)充和完善，建立了分段光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)零根與極限環(huán)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。其次，利用推廣的Melnikov函數(shù)方法，研究了兩類分段光滑系統(tǒng)。通過復(fù)雜的計(jì)算，求得Melnikov函數(shù)零根的個(gè)數(shù)，由此分別得到了這兩類系統(tǒng)由閉軌擾動(dòng)產(chǎn)生的極限環(huán)的個(gè)數(shù)。作為對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)周期解的另一項(xiàng)研究，本文還考慮了一維周期方程，并給出了幾種方法來研究周期解的個(gè)數(shù)問題和穩(wěn)定性問題。其中，我們通過建立Poinca

2、M映射！將方程化成規(guī)范型或利用平均方程，來確定周期解的個(gè)數(shù)。另外，通過研究零解的重?cái)?shù)，可以了解零解的穩(wěn)定性。
　　本研究分為五個(gè)部分：第一章主要介紹了本文的研究背景，包括研究對(duì)象以及所用到的主要方法。第二章介紹了分段光滑系統(tǒng)的M elnikov函數(shù)方法.針對(duì)分段光滑的近哈密頓系統(tǒng)，我們對(duì)與推廣的M elnikov函數(shù)方法相關(guān)的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)歸納，并且在這些已知結(jié)果的基礎(chǔ)上，給出了周期帶分支定理，以及在 H opf分支問題中的M el

3、nikov函數(shù)的性質(zhì)。第三章研究了一類非光滑的Lienard系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題.針對(duì)該切換系統(tǒng)的兩種情況：切換直線在 x軸上和切換直線在y軸上，我們先分別討論了帶雙參數(shù)擾動(dòng)的兩類系統(tǒng)，并利用帶雙參數(shù)的M elnikov函數(shù)的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)表達(dá)式，計(jì)算出這兩類系統(tǒng)的極限環(huán)在閉軌附近的個(gè)數(shù)。然后，再根據(jù)這兩類系統(tǒng)與原系統(tǒng)之間的關(guān)系，得出原系統(tǒng)在這兩種情況下的極限環(huán)的個(gè)數(shù)，并舉例說明結(jié)論。第四章主要考慮了一類具有Lienard形式的切換系統(tǒng)

4、，該系統(tǒng)的左右子系統(tǒng)均為多項(xiàng)式系統(tǒng).通過分段光滑系統(tǒng)的M elnikov函數(shù)方法，我們得到了系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)M(h)的表達(dá)式.之后，為了能得到該式的零根個(gè)數(shù)，從而確定系統(tǒng)在閉軌附近的極限環(huán)個(gè)數(shù)，我們將M(h)中與 h有關(guān)的項(xiàng)分為三部分來討論，最終的結(jié)果與這三部分有關(guān).最后，我們按照系統(tǒng)中多項(xiàng)式的次數(shù)大小分類討論，得到一系列關(guān)于這類系統(tǒng)的極限環(huán)在閉軌附近的個(gè)數(shù)的結(jié)果。第五章討論了一維周期系統(tǒng)的周期解的存在性、穩(wěn)定性及其個(gè)數(shù)問題，