變分不等式與互補問題的新算法.pdf

1、變分不等式和互補問題廣泛應用于闡述和研究物理學、力學、經濟學、運籌學、最優(yōu)控制等數學模型以及交通運輸中出現的各種平衡模型。因此研究其快速數值解法是很有意義的。近幾十年來,人們已經提出了許多的有效的算法。在本文中,我們討論了幾類變分不等式和互補問題的有效的新算法。 對于大規(guī)模科學與工程問題,并行計算是一種很重要的手段。同步并行計算的一個優(yōu)點是每一個子問題都可以由并行計算機分配相應的一個處理器進行并行處理,因而較串行算法,大大加快計算速度。

2、但是,在同步計算過程中,每個同步點處必須等待其他所有處理器的信息。而異步并行計算可以克服這個缺點,它可以不等待其他處理器提供的新信息而繼續(xù)進行計算,節(jié)省了“等待”時間。因此研究并行計算,尤其是異步并行計算是很有意義的。多重分裂方法是研究并行求解線性或非線性方程組的重要的數值計算方法。其優(yōu)點在于,每個處理器只需計算與加權矩陣非零對角元對應的那些分量。從這個意義上來說,它能將原來一個大規(guī)模問題轉化為幾個小規(guī)模問題進行并行求解。基于多重分裂的

3、加權加性Schwarz方法(簡稱為多重分裂Schwarz方法)是多重分裂方法的推廣,其收斂性要好于多重分裂方法。非穩(wěn)態(tài)多重分裂方法是多重分裂方法的發(fā)展。其主要思想是,每個處理器有限次迭代計算相應的子問題,每次迭代均以上次的計算結果作為下一次迭代計算的初始值。數值例子表明這類方法比標準多重分裂方法具有更好的數值效果。本文將這類方法推廣到求解互補問題,包括線性互補問題,對角凸非線性互補問題及有限維仿射雙障礙問題。從M-陣到H-陣,我們提出了

4、一系列的同步與異步多重分裂Schwarz方法和非穩(wěn)態(tài)多重分裂方法,并討論了它們的收斂性。相應的數值例子表明這些算法是有效的。 區(qū)域分解算法和多重網格算法是求解變分不等式問題的兩類重要的算法。我們提出了一類求解帶非線性源項的變分不等式問題的兩水平Schwarz算法。這種方法基于有效集策略,將計算區(qū)域分為相應于障礙子問題和線性子問題的子區(qū)域,然后在子區(qū)域上分別求解相應的子問題。我們得到了算法的有限步收斂性結論。針對較一般的T-單調算子障礙問

5、題,我們討論了一類廣義Schwarz算法。這類算法的重要特點是子問題根據Robin邊界條件進行耦合。數值算例表明,廣義Schwarz算法在選取適當的參數ω_i的情況下,比經典的Schwarz算法更快地收斂于問題的解。新近發(fā)展的瀑布型多重網格法是一類有效的新算法。這類算法變分不等式與互補問題的新算法不需要粗網格校正,在粗網格層上要求較多的迭代計算,而在細格層上只需較少的迭代計算.數值例子表明該算法具有很好的計算效果.我們研究了求解帶非線性