變分不等式及其相關(guān)問題的算法研究.pdf

1、變分不等式、非線性互補(bǔ)和極大單調(diào)包含問題有著廣泛的應(yīng)用背景,得到了學(xué)者的廣泛興趣和高度重視。這三類問題有著密切的聯(lián)系,非線性互補(bǔ)問題是變分不等式的一個(gè)特殊情形,變分不等式又是包含問題的一個(gè)特例。投影算法是求解這三類問題的一類有效方法,這類方法不涉及所討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息和其他復(fù)雜的運(yùn)算,適用于約束集相對(duì)簡(jiǎn)單的大規(guī)模問題。本文研究了這三類問題的投影算法,主要從算法的設(shè)計(jì)、收斂性分析和數(shù)值效果等方面進(jìn)行了研究,所取得的主要研究成果如下:

2、>　　1. Korpelevich外梯度法是求解變分不等式的一類有效方法,受該方法的啟發(fā),提出了一種求解變分不等式的預(yù)測(cè)校正投影算法。在對(duì)函數(shù)進(jìn)行協(xié)強(qiáng)制性條件的假設(shè)下,證明了該算法全局收斂。在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下,證明了該算法是線性收斂的.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該算法的有效性。
　　2.提出了一種求解多面體上的變分不等式的LQP算法。首先,將多面體上的變分不等式添加一個(gè)Lagrange乘子,使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的非負(fù)卦限上的變分不等式。然后,提

3、出一種LQP預(yù)測(cè)校正投影算法求解該等價(jià)問題從而獲得原問題的解。當(dāng)函數(shù)滿足連續(xù)和單調(diào)性條件時(shí),證明了該算法具有全局收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法是可行的和有效的。
　　3.非線性互補(bǔ)問題是變分不等式在有效域?yàn)榈谝回韵迺r(shí)的特殊情形,是一類極其重要的優(yōu)化問題?；诮?jīng)典的LQP算法,提出了兩種求解非線性互補(bǔ)問題的投影算法。當(dāng)函數(shù)連續(xù)擬單調(diào)時(shí),分別證明了這兩種算法具有全局收斂性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了所提算法的有效性。
　　4.鄰近點(diǎn)算

4、法是求解極大單調(diào)包含問題的一類經(jīng)典算法。該算法簡(jiǎn)單,但不易執(zhí)行?；卩徑c(diǎn)算法,提出了一種求解歐氏空間中的極大單調(diào)包含問題的預(yù)測(cè)校正投影算法。該算法首先在一個(gè)放松的誤差準(zhǔn)則下近似求解鄰近點(diǎn)算法得到預(yù)測(cè)點(diǎn),然后采用當(dāng)前迭代點(diǎn)的一個(gè)凸組合校正該點(diǎn)得到新的迭代點(diǎn)。一些已有算法可以看作是該算法的特殊情形。在僅要求解集非空的前提下,證明了該算法是全局收斂的.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的算法是可行、有效的。
　　5.基于經(jīng)典的鄰近點(diǎn)算法,采用當(dāng)前